方块矩阵

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!style=" text-align: left; background: #DCF0FF; font-size: 90%;"|线性空间与线性变换线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化方块矩阵，也称方阵、方矩阵或正方矩阵，是行数及列数皆相同的矩阵。由formula_1矩阵组成的集合，连同矩阵加法和矩阵乘法，构成环。除了formula_2，此环并不是交换环。 M("n", R)，即实方块矩阵环，是个实有单位的结合代数。M("n", C)，即复方块矩阵环，则是复结合代数。单位矩阵formula_3的对角线全是1而其他位置全是0，对所有formula_4矩阵formula_5及formula_6矩阵formula_7都有formula_8及formula_9。例如，若formula_10： formula_11 单位矩阵是方块矩阵环的单位元。方块矩阵环的可逆元称为可逆矩阵或非奇异方阵。formula_1矩阵formula_13是可逆当且仅当存在矩阵formula_14使得 formula_15。此时formula_14称为formula_13的逆矩阵，并记作formula_18。所有formula_19矩阵在乘法上组成一个群（亦是一个李群），称为一般线性群。若数字formula_20和非零向量formula_21满足formula_22，则formula_21为formula_13的一个特征向量，formula_20是其对应的特征值。数字formula_20为formula_13的特征值当且仅当formula_28可逆，又当且仅当formula_29。这里，formula_30是formula_13的特征多项式。特征多项式是一个formula_32次多项式，有formula_32个复根（考虑重根），即formula_13有formula_32个特征值。方块矩阵formula_13的行列式是其formula_32个特征值的积，但亦可经由莱布尼茨公式计算出来。可逆矩阵正好是那些行列式非零的矩阵。高斯-若尔当消元法非常重要，可以用来计算矩阵的行列式，秩，逆矩阵，并解决线性方程组。矩阵的迹是formula_1矩阵的对角线元素之和，也是其formula_32个特征值之和。所有正交矩阵都是方块矩阵。方块矩阵的等价命题. 线性代数中，下列关于方块矩阵"A"的命题是等价的（同时成立，或同时不成立）：这里，F为矩阵元素所属的域。通常，这个域为实数域或复数域。

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