等周定理
等周定理，又称等周不等式（），是一个几何中的不等式定理，说明了欧几里得平面上的封闭图形的周长以及其面积之间的关系。其中的“等周”指的是周界的长度相等。等周定理说明在周界长度相等的封闭几何形状之中，以圆形的面积最大；另一个说法是面积相等的几何形状之中，以圆形的周界长度最小。这两种说法是等价的。它可以以不等式表达：若formula_1为封闭曲线的周界长，formula_2为曲线所包围的区域面积，formula_3。
虽然等周定理的结论早已为人所知，但要严格的证明这一点并不容易。首个严谨的数学证明直到19世纪才出现。之后，数学家们陆续给出了不同的证明，其中有不少是非常简单的。等周问题有许多不同的推广，例如在各种曲面而不是平面上的等周问题，以及在高维的空间中给定的“表面”或区域的最大“边界长度”问题等。
在物理中，等周问题和跟所谓的最小作用量原理有关。一个直观的表现就是水珠的形状。在没有外力的情况下（例如失重的太空舱里），水珠的形状是完全对称的球体。这是因为当水珠体积一定时，表面张力会迫使水珠的表面积达到最小值。根据等周定理，最小值是在水珠形状为球状时达到。
历史.
平面上的等周问题是等周问题最经典的形式，它的出现可以追溯到很早以前。这个问题可以被表述为：在平面上所有周长一定的封闭曲线中，是否有一个围成的面积最大？如果有的话，是什么形状？另一种等价的表述是：当平面上的封闭曲线围成的面积一定时，怎样的曲线周长最小？
虽然圆看似是问题的表面答案，但证明此事实其实不易。首个接近答案的步骤出现在1838年——以几何方法证明若答案存在，答案必然是圆形。不久之后他的证明被其他数学家完善。
其方法包括证明了不完全凸的封闭曲线的话，能以「翻折」凹的部分以成为凸的图形，以增加面积；不完全对称的封闭曲线能以倾斜来取得更多的面积。圆，是完全凸和对称的形状。可是这些并不足以作为等周定理的"严格"证明。
1901年，阿道夫·赫维兹凭傅里叶级数和格林定理给出一个纯解析的证明。
证明.
初等证明.
以下给出一个较初等的证明，分5步。
设一条长度为P的封闭曲线围成的区域的最大面积为A，亦以A、P来标记该区域及其边界；那么该图形应当满足如下性质：
1、A是一个凸区域。
2、凡平分周长P的弦必平分面积A。
3、凡平分A的弦，无论方向，长度相等。
4、若MN平分A，O为MN中点，那么对P上任意一点R，都有OM=ON=OR。
5、由于O到P上任意一点的距离都相等，所以P是圆。
傅里叶级数证明.
不妨将封闭图形周长定为2π，选取弧长参数"t"其取值为从0到2π，有参数方程("x","y")=["x"("t"),"y"("t")]，并且根据封闭图形有["x"(0),"y"(0)]=["x"(2π),"y"(2π)]。现展开为傅里叶级数：
formula_34
以及相应导数：
formula_35
考虑帕塞瓦尔恒等式（注意这里是实数情形），可以得到：
formula_36
其中第二个等号是因为弧长参数表示的微分满足formula_37的关系。
根据格林公式，得到封闭图形面积为formula_38，因此：
formula_39
整理与联系上述等式(1)与(2)，得：
formula_40
此时可以证明"S"存在最大值（初等证明里没有证明解的存在性），即该不等式取等号时的情况，当且仅当满足以下条件：
formula_41
最终可以得到参数方程即为圆：
formula_42
证毕。
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