等比数列
等比数列，又名几何数列（），是数列的一种。在等比数列中，任何相邻两项的比例相等，该比值称为公比。
例如数列：
formula_1
就是一个等比数列。在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公比都等于formula_2。
性质.
如果一个等比数列的首项记作formula_3，公比记作formula_4，那么该等比数列第formula_5项formula_6的一般项为：
formula_7
换句话说，任意一个等比数列formula_8都可以写成
formula_9
在一个等比数列中，给定任意两相连项formula_10和formula_6（其中formula_12），可知公比
formula_13
给定任意两项formula_14和formula_6，则有公比
formula_16
这里注意，若formula_17是偶数，则公比可取此结果的正值或负值。
此外，在一个等比数列中，选取某一项，该项的前一项与后一项之积，为原来该项的平方。举例来说，formula_18。
更一般地说，有：
formula_19
证明如下：
formula_20
证毕。
从另一个角度看，等比数列中的任意一项，是其前一项和后一项的几何平均：
formula_21
此结果从上面直接可得。
如果有整数formula_22，使得 formula_23，那么则有：
formula_24
证明如下：
formula_25
由此可将上面的性质一般化成：
formula_26
formula_27
其中formula_28是一个小于formula_5的正整数。
给定一个等比数列 formula_8，则有：
从等比数列的一般项可知，任意一个可以写成
formula_34
形式的数列，都是一个等比数列，其中公比formula_35，首项formula_36。
等比数列和.
一个等比数列的首formula_5项之和，称为等比数列和（sum of geometric sequence）或几何级数（geometric series），记作formula_38。
举例来说，等比数列formula_39的和是formula_40。
等比数列求和的公式如下：
formula_41
其中formula_3为首项，formula_5为项数，formula_4为公比，且formula_45。
公式证明如下：
将等比数列和写作以下形式：
formula_46 ……(1)
将两边同乘以公比 "r"，有：
formula_47 ……(2)
(1)式减去(2)式，有：
formula_48
当formula_45时，整理后得证。
当formula_50时，可以发现：
formula_51
综上所述，等比数列的求和公式为：
formula_52
当formula_53时，注意到
formula_54
因此，我们可得无限项之和（sum to infinity）的公式为
formula_55
由此可见，当formula_53时，几何级数会收敛到一个固定值。
等比数列积.
一个等比数列的首 "n" 项之积，称为等比数列积（product of geometric sequence），记作 "Pn"。
举例来说，等比数列formula_39的积是formula_58。
等比数列求积的公式如下：
formula_59
证明如下：
formula_60
第二步，公比r的指数中，0来自于数列的第一项。最后一步，使用了等差数列的求和公式，通项为formula_61。
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