双线性形式

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双线性形式

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在域 "F" 中,向量空间 "V" 的双线性形式指的是一个"V" × "V" → "F" 上的线性函数 "B", 满足： formula_1，映射： formula_2 formula_3 都是线性的。这个定义也适用于"交换环"的模，这时线性函数要改为模同态。注意一个双线性形式是特别的双线性映射。坐标表示法. 如果"V"是n维向量空间，设formula_4是"V"的一组基。定义formula_5 阶的矩阵"A"使得formula_6。当formula_7 的矩阵"x"和"y"表示向量"u"及"v"时，双线性形式"B"可表示为: formula_8 考虑另一组基 formula_9 ，其中"S"是一个可逆的formula_5 阶矩阵（基底转换矩阵），则双线性形式在formula_11下的矩阵formula_12的形式为： formula_13 对偶空间映射. V的每一个双线性形式"B"都定义了一对由"V"射到它的对偶空间"V"*的线性函数。定义formula_14 ： formula_15 formula_16 常常记作： formula_17 formula_18 这里的(–)是放变量的位置。如果 "V"是有限维空间的话，"V"和它的双对偶空间"V"**是同构的，这时"B"2是"B"1 的转置映射（如果"V"是无限维空间，"B"2限制在"V"在"V"**的像下的部分是"B"1 的转置映射）。定义"B"的转置映射为双线性形式： formula_19 如果 "V"是有限维空间，"B"1 及"B"2 的秩相等。如果他们的秩等于"V"的维数的话，"B"1 和 "B"2 就是由"V"到"V"*的同构映射（显然"B"1是同构当且仅当"B"2 是同构），此时，"B"是非退化的。实际上在有限维空间里，这常常作为非退化的定义："B"是非退化的当且仅当 formula_20 镜像对称性和正交性. 双线性形式 "B" : "V" × "V" → "F" 是镜像对称的当且仅当: formula_21 有了镜像对称性，就可以定义正交：两个向量v和w关于一个镜像对称的双线性形式正交当且仅当： formula_22 。一个双线性形式的根是指与所有其他向量都正交的向量的集合。一个矩阵表示为x的向量v属于双线性形式的根当且仅当formula_23（等价于formula_24），根一般是"V"的子空间，当A是非奇异矩阵，即当"B"是非退化时，根都是零子空间{0}。设W是一个子空间，定义formula_25。当"B"是非退化时，映射formula_26是双射，所以formula_27的维数等于dim("V")-dim("W")。可以证明，双线性形式"B"是镜像对称的当且仅当它是以下两者之一：每个交替形式都是斜对称(skew-symmetric)（或称反对称(antisymmetric)）的，只要展开 "B"("v"+"w","v"+"w")就可看出。当"F"的特征不为2时，逆命题也是真的。斜对称的形式必定交替。然而，当char("F")=2时，斜对称就是对称，因此不全是交替的。一个双线性形式是对称的(反对称的)当且仅当它对应的矩阵是对称的(反对称的)。一个双线性形式是交替的当且仅当它对应的矩阵是反对称的，且主对角线上都是零。（在"F"的特征不为2时的情况下）一个双线性形式是对称的当且仅当formula_14 相等，是旋钮对称的当且仅当formula_33。char("F") ≠ 2 时，一个双线性形式可以按成对称和反对称部分分解： formula_34 其中"B"* 是"B" 的转置映射。不同空间的推广. 这套理论有很大一部份可推广到双线性映射的情形： "B": "V" × "W" → "F". 此时仍有从 "V" 到 "W" 的对偶、及从 "W" 到 "V" 的对偶的映射。当 "V", "W" 皆有限维，则只要其中之一是同构，另一个映射也是同构。在此情况下 "B" 称作完美配对。张量积关系. 由张量积的泛性质，formula_35 上的双线性形式一一对映至线性映射 formula_36：若 formula_37 是 formula_35 上的双线性形，则相应的映射由下式给出 formula_39 所有从 formula_40 到 formula_41 的线性映射构成 formula_40 的对偶空间，此时双线性形式遂可视为下述空间的元素： formula_43 同理，对称双线性形式可想成二次对称幂 "S"2"V"* 的元素，而交代双线性形式则可想成二次外幂 Λ2"V"* 的元素。

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