高斯引理
在数论中，高斯引理给出了一个整数是模另一个整数的二次剩余的条件。尽管高斯引理没有实际计算上的意义，但作为二次互反律的证明中的一环，高斯引理有着理论上的重要性。
高斯引理最早出现在高斯1808年发表的二次互反律的第三个证明中，并在第五个证明中再次用到。
叙述.
设formula_1为奇质数，formula_2是一个与"formula_1"互质的整数。考虑以下数组：formula_4, 取它们模"formula_1"的最小非负剩余。这些剩余两两不等，因此我们共有formula_6个两两不等的介于1和"formula_7"之间的整数：formula_8。设其中有formula_9个数比formula_10大，那么高斯引理声称：
formula_11
上式左边是勒让德符号，当其值为+1时，表示"formula_2"是模"formula_1"的二次剩余；其值为-1时，表示"formula_2"是模"formula_1"的二次非剩余。
用通俗的语言来说，就是：如果formula_8里面比formula_10大的有偶数个，那么"formula_2"是模"formula_1"的二次剩余，如果有奇数个，那么"formula_2"是模"formula_1"的二次非剩余。
例子.
令formula_22，formula_23，则我们考虑的数组是formula_24。模11之后，就得到formula_25。其中比formula_26大的有三个：formula_27。3是奇数，因此由高斯引理得到结论：7是模11的二次非剩余。
这个结论是正确的，因为模11的全部二次剩余是formula_28，不包括7在内。
证明.
一个常见的简单证明用的是一个令人联想到费马小定理之最简单证明的方法：考虑乘积
formula_29
用两种方式模"p"之后，一方面可以得到：
formula_30
另一方面，我们将formula_31中每一个比formula_10大的数都减去"formula_1"，这样我们得到一个新数组formula_34，其中每个数都介于formula_35与formula_10之间。取绝对值后，我们便得到formula_6个介于1和formula_6之间（含等于formula_6）的整数（这是因为formula_10不是整数，因此比formula_10小的整数必然小于等于formula_6）。
关键的一步，是证明这些数两两不等。
证明是用反证法：假设在这些数中有两个数formula_43和formula_44相等，那么找出其对应的“原型”：formula_45与formula_46，其中"k"和"l"是两个介于1和formula_6之间的整数。分别平方后，就有：
formula_48
因此"p"整除两者之差：formula_49。
但这不可能，因为"p"不整除formula_50，并且由于"k"和"l"是两个介于1和formula_6之间的整数，它们的和与差的都介于formula_52与formula_7之间，绝对值比"formula_1"小，不可能被"formula_1"整除。这导致了矛盾！
因此这formula_6个数都在1和formula_6之间，且两两不等。于是它们就是formula_58。这样，
formula_59
formula_60 (因为我们知道formula_61)
formula_62 (比formula_10大的减去"formula_1"之后为负数，因此共有formula_9个-1)
formula_66
总结两次不同算法的结果，可以得出：formula_67（因为"formula_1"不整除formula_69）。然而由欧拉判别法可以得出
formula_70
因此有
formula_11
引理得证。
应用.
在很多的二次互反律的证明中都可以见到高斯引理的身影。比如艾森斯坦曾用高斯引理证明了在"formula_1"为奇质数时，有下式成立
formula_73
并运用这个公式证明二次互反律（并且运用椭圆函数而不是三角函数来证明三次以及四次的互反律）。
克罗内克运用高斯引理证明了
formula_74。
翻转"p"和"q"后就可立即得到二次互反律。
与群论中迁移的关系.
令formula_75为Z/"p"Z中全体非零的二次剩余类组成的乘法群，令formula_76为此群的子群formula_77。考虑如下的"formula_75"中"formula_76"的陪集代表：
formula_80。
在这些陪集上应用迁移，就可以得到迁移同态：formula_81，将formula_2射到formula_83，其中formula_2与formula_9为高斯引理中所定义的。高斯引理可以被看做一个清楚地将这个同态等同到二次剩余特征的计算。
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