归纳维数

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归纳维数

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在数学的拓扑学中，归纳维数是对拓扑空间"X"定义的两种维数，分别为小归纳维数ind("X")与大归纳维数Ind("X")。在"n"维欧几里得空间R"n"中，一个球的边界是有"n" - 1维的球面。以这个观察为基础，利用一个空间中适合的开集的边界维数，应当可以归纳定义出空间的维数。这两种维数是只靠空间的拓扑来定义，无需用到空间的其他性质（比如度量）。拓扑空间的一般常用维数有三种，有大小归纳维数，以及勒贝格覆盖维数。通常说「拓扑维数」是指勒贝格覆盖维数。对于「足够好」的空间，这三种维数都相等。正式定义. 我们想定义一个点的维数是0，而点的边界是空的，因此首先定义 formula_1 然后，归纳定义"X"的小归纳维数ind("X")为最小的整数"n"，使得对"X"中任何点"x"，及任何包含"x"的开集"U"，都存在一个包含"x"的开集"V"，使得"V"的闭包是"U"的子集，"V"的边界的小归纳维数小于或等于"n" - 1。对于"X"的大归纳维数Ind("X")的定义，增加选取"V"的限制如下：Ind("X")为最小的整数"n"，使得对"X"中任何开集"U"，及"U"的任何闭子集"F"，都存在一个包含"F"的开集"V"，使得"V"的闭包是"U"的子集，"V"的边界的大归纳维数"n" - 1。各维数的关系. 设dim为勒贝格覆盖维数。对任何拓扑空间"X"，有 dim "X" = 0 若且唯若 Ind "X" = 0. 乌雷松定理指出，若"X"是正规空间，及有可数基，则 dim "X" = Ind "X" = ind "X". 这种空间正是可分及可度量化空间。（参见乌雷松度量化定理。） Nöbeling-Pontryagin定理指出有限维数的这种空间，其特征为同胚于欧几里得空间中的子空间，子空间用通常的拓扑。Menger-Nöbeling定理(1932)说若"X"是紧致及度量可分，且有维数"n"，则可以嵌入到2"n" + 1维欧几里得空间成为子空间。（是卡尔·门格尔的学生。他引入了Nöbeling空间，是R2"n" + 1的一个子空间，由至少"n" + 1个座标是无理数的点所组成，这个空间有与"n"维空间嵌入相关的一些泛性质。）若只假设"X"是可度量化，则有（） ind "X" ≤ Ind "X" = dim "X". 若只假设"X"是紧致豪斯多夫空间，则有（帕维尔·亚历山德罗夫） dim "X" ≤ ind "X" ≤ Ind "X". 以上的不等式都可能是严格的；Vladimir V. Filippov有个例子显示两种归纳维数可以不相等。一个可分度量空间"X"的大归纳维数Ind "X" ≤ "n"，若且唯若"X"中任何闭空间"A"及任何连续映射formula_2，都存在一个连续扩张formula_3。

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