矩生成函数
矩生成函数
在概率论和统计学中，一个实数值随机变量的动差-{}-母函数（--
）又称动差-{}-生成函数，-{zh-hans:矩;zh-tw:动差}-亦被称作-{zh-tw:矩;zh-hans:动差}-，矩生成函数是其概率分布的一种替代规范。 因此，与直接使用概率密度函数或累积分布函数相比，它为分析结果提供了替代途径的基础。 对于由随机变量的加权和定义的分布的矩生成函数，有特别简单的结果。 然而，并非所有随机变量都具有矩生成函数。
顾名思义，矩生成函数可用于计算分布的矩：关于 0 的第formula_1个矩是矩生成函数的第formula_1阶导数，在 0 处求值。
除了实值分布（单变量分布），矩生成函数可以定义为向量或矩阵值的随机变量，甚至可以扩展到更一般的情况。
与特征函数不同，一个实数值分布的矩生成函数并不总是存在。 分布的矩生成函数的行为与分布的性质之间存在关系，例如矩的存在。
定义.
随机变数formula_3的动差母函数定义为：
formula_4
前提是这个期望值存在。
计算.
如果"formula_3"具有连续概率密度函数formula_6，则它的动差母函数由下式给出：
formula_7
formula_8
formula_9
其中formula_10是第formula_11个动差。formula_12是formula_6的双边拉普拉斯变换。
不管概率分布是不是连续，动差生成函数都可以用黎曼-斯蒂尔吉斯积分给出：
formula_14
其中formula_15是累积分布函数。
如果formula_16是一系列独立的随机变量，且
formula_17
其中formula_18是常数，则formula_19的概率密度函数是每一个formula_20的概率密度函数的卷积，而"formula_19"的动差生成函数则为：
formula_22 。
对于分量为实数的向量值随机变量X，动差生成函数为：
formula_23
其中formula_24是一个向量，formula_25 是数量积。
意义.
只要动差生成函数在formula_26周围的开区间存在，第"formula_1"个矩为：
formula_28 。
如果动差生成函数在这个区间内是有限的，则它唯一决定了一个概率分布。
一些其它在概率论中常见的积分变换也与动差生成函数有关，包括特征函数以及概率生成函数。
累积量生成函数是动差生成函数的对数。
例子.
下面是一些矩生成函数和特征函数的例子，用于比较。 可以看出，特征函数是矩生成函数formula_29存在时的威克转动（Wick rotation）。
formula_30
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