鞅中心极限定理
鞅中心极限定理是概率论中的一个定理，对有界的随机变量而言，常见的经典中心极限定理是它的特殊情形。经典中心极限定理说，在一定条件下，独立同分布（i.i.d.）的随机变量之和，乘以适当的标准化因数后，会依分布收敛于标准正态分布 。而鞅中心极限定理将独立性假设放宽为：这些随机变量只需构成一个鞅中的随机增量（鞅是一种随机过程 ，其从时间 formula_1 到时间 formula_2 的增量，在给定时间 1 到 formula_1 观测值的条件下，其条件数学期望为零）。
定理内容.
鞅中心极限定理的基本内容可陈述如下：令随机变量 formula_4 构成一个鞅，即满足条件：
formula_5 （鞅的定义）
进一步假设这个鞅是有限增量的，即：存在一个固定常数 formula_6 ，有：
formula_7
对所有 formula_1 成立。 另假设formula_9 也成立。 定义增量的条件方差为：
formula_10
并假设所有条件方差之和发散，即下式以概率1成立：
formula_11
据此，对任意给定的常数 formula_12 ，可以定义：
formula_13
在所有上述假设成立的条件下，鞅中心极限定理做出如下结论：标准化的鞅随机变量：
formula_14
随着 formula_15 将会依分布收敛于标准正态分布。
随机增量的条件方差之和必须发散.
上述定理假设了所有随机增量的条件方差之和为无穷大，即以下条件以概率1成立：
formula_16
这样可以确保以概率1，下式成立：
formula_17
并不是所有鞅都满足这个条件，例如恒为零的平凡鞅。
定理的直观理解.
可以通过将 formula_14 如下变形来更好地理解鞅中心极限定理：
formula_19
右边的第一项渐近收敛于零，可以忽略。第二项在形式上，与独立同分布随机增量的经典中心极限定理相似，虽然其中被求和项 formula_20 互相之间未必独立，但由鞅的定义易知它们互不相关的，因为：
formula_21
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