超限归纳法
超限归纳法
超限归纳法（）是数学归纳法向（大）良序集合比如基数或序数的集合的扩展。
超限归纳.
假设只要对于所有的formula_1，formula_2为真，则formula_3也为真。那么超限归纳告诉我们formula_4对于所有序数为真。
就是说，如果formula_3为真只要formula_2对于所有formula_1为真，则formula_3对于所有formula_9为真。或者更实用的说：若要证明所有序数formula_9都符合性质formula_4，你可以假定它对于所有更小的formula_1已经是成立的。
通常证明被分为三种情况：
留意，以上三种情况(证明方法)都是相同的，只是所考虑的序数类型不同。正式来说不用分开考虑它们，但在实践时，因为它们的证明过程通常相差很大，所以需要分别表述。在一些情况下，「零情况」会被视为一种「极限情况」，因此可以使用极限序数来证明。
超限递归.
超限递归是一种构造或定义某种对象的方法，它与超限归纳的概念密切相关。例如，可以定义以序数为下标的集合序列 "A"α ，只要指定三个事项：
更形式的说，我们陈述超限递归定理如下。给定函数类formula_32, formula_33, formula_34，存在一个唯一的超限序列formula_35带有formula_36（formula_37 是所有序数的真类），使得
注意我们要求formula_32, formula_33, formula_34的定义域足够广阔来使上述性质有意义。所以满足这些性质的序列的唯一性可以使用超限归纳证明。
更一般的说，你可以在任何良基关系formula_49上通过超限递归定义对象。（formula_49甚至不需要是集合；它可以是真类，只要它是类似集合的关系便可，也就是说：对于任何 formula_51，使得formula_52的所有formula_53的搜集必定是集合。）
同选择公理的联系.
有一个常见的误解是超限归纳法或超限递归法要求选择公理。其实超限归纳可以应用于任何良序集合。但是常见的情况是使用选择公理来良序排序一个集合，使其适用超限归纳法。
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