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祖暅原理

祖暅原理祖原理，又名等幂等积定理，是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等的定理。祖暅之《缀术》有-{云}-：「缘幂势既同，则积不容异。」该原理最早由中国古代数学家刘徽提出。南北朝时祖冲之儿子祖暅再次提出，两父子用这原理求出牟合方盖体积，进而算出球体积。17世纪欧洲意大利数学家卡瓦列里亦发现相同定理，所以西方文献一般称该原理为卡瓦列里原理。在现代的解析几何和测度应用中，祖暅原理是富比尼定理的一个特例。卡瓦列里没有对这条的严谨证明，只发表在1635年的"Geometria indivisibilibus"以及1647年的"Exercitationes Geometricae"，用以证明自己的"Methode der Indivisibilien"。以此方式可以计算某些立体的体积，甚至超越了阿基米德和克卜勒的成绩。这定理引发了以面积计算体积的方法并成了积分发展的重要一步。简单应用. 圆柱体. 如果垂直转轴切开圆柱体，设r为半径，可得到横切面积为formula_1的圆。根据祖暅原理，圆柱体积相等于底面积相等于圆面积formula_1、高h的长方体，所以半径r和高h的圆柱体积是formula_3。半球体. 从其中一层以垂直表面的高h横切半径为r的半球体，根据勾股定理，半径为 formula_4 所以横切面积是 formula_5 对照立体是个有与半球体相同横切面积和高的立体，中间有一圆锥体。高h的对照立体环形切面有内圆周h及外圆周r，其面积为 formula_6 因此两个立体都满足祖暅原理并有相同体积。对照立体的体积就是圆柱体和圆锥体体积之差，所以 formula_7 成功利用这条有名的方程计出半球体积，从而导出球体积公式。微积分. 祖暅原理背后概念常在微积分出现。作为维度的一个例子，因此两条方程在两交点间的面积可用以下方程获得： formula_8 实质上表示了函数f和g间的formula_9面积与函数图形formula_10下的formula_11相同，而后者的交点距离与前者相等。由于现代数学的积分和-{面}-积的互相关系，而体积可以微分计算，使祖暅原理变得更少用。

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