并运算
并运算
在数学中，集合上的并（）可以用两种方式定义：关于这个集合上的偏序的唯一上确界（最小上界），假定这种上确界存在的话；或者是满足幂等律的交换结合二元运算。在任何一个情况下，这个集合与并运算一起是并半格。两个定义生成等价的结果，除了偏序方式有可能直接的定义更一般的元素的集合的并之外。最常见到并运算的领域是格。
formula_1 和 formula_2 的并通常被指示为 formula_3。
偏序定义.
设 "A" 是带有偏序 formula_4 的一个集合，并; 并;设 formula_1 和 formula_2 是 "A" 中的两个元素。"A" 中的一个元素 formula_7 是 formula_1 和 formula_2 的并（或最小上界或上确界），如果满足下列两个条件:
1. formula_10 且 formula_11 （就是说，formula_7 是 formula_1 和 formula_2 的一个上界）
2. 对于 "A" 中任何 formula_15，使得 formula_16 且 formula_17，有着 formula_18 （就是说，formula_7 小于任何其他 formula_1 和 formula_2 的上界）。
如果 formula_1 和 formula_2 有并，则实际上它是唯一的，因为如果 formula_7 和 formula_25 都是 formula_1 和 formula_2 的最小上界，则 formula_28，因此确实 formula_29。如果并存在，它被指示为 formula_3。"A" 中的某些对元素可能缺乏并，要么因为它们根本就没有上界，要么因为它们的上界没有一个小于所有其他的。如果所有的元素对都有并，则这个并实际上是在 "A" 上的二元运算，并且容易看出这个运算满足下列三个条件: 对于 "A" 中任何元素 formula_1, formula_2 和 formula_7 有
a. formula_34 (交换律)，
b. formula_35 (结合律)，
c. formula_36 (幂等律)。
泛代数定义.
通过定义，在集合 "A" 上的二元运算 formula_37 是并，如果它满足上述三个条件 a, b 和 c。有序对 ("A",formula_37) 就是并半格。此外，我们可以定义在 "A" 上的二元关系 formula_4，通过声称 formula_40 当且仅当 formula_41。事实上，这个关系是在 "A" 上的偏序。实际上，对于 "A" 中任何元素 formula_1, formula_2 和 formula_7 有
formula_45，因为 formula_46，通过公理 c；
如果 formula_40 且 formula_48，则 formula_49，通过公理 a；
如果 formula_40 且 formula_11，则 formula_10，因为 formula_53，通过公理 b。
两个定义的等价性.
如果 ("A",formula_4) 是偏序集合，使得 "A" 中每对元素都有并，则确实 formula_41 当且仅当 formula_40，因为在后者情况下 formula_2 的确是 formula_1 和 formula_2 的上界，并且因为明显的 formula_2 是最小上界当且仅当它是上界。因此，以泛代数方式的并定义的偏序一致于最初的偏序。
反过来说，如果 ("A",formula_37) 是并半格，并用泛代数的方式定义偏序 formula_4，对于 "A" 中某些元素 formula_1 和 formula_2 有 formula_65，则 formula_7 是 formula_1 和 formula_2 关于 formula_4 的最小上界，因为 formula_70，类似的 formula_11，并且如果 formula_15 是 formula_1 和 formula_2 的另一个上界，则 formula_75，因而 formula_76。所以最初的并定义的偏序定义的并一致于最初的并。
换句话说，这两种方式生成本质上等价的概念，集合配备了二元关系和二元运算二者，使得每个结构都有另一个确定，而且分别满足关于偏序或并的那些条件。
一般子集的并.
如果 ("A",formula_37) 是并半格，则并可以被扩展为任何非空有限集合的良好定义的并，通过在迭代二元运算中描述的技术。可作为替代的，并定义或定义自偏序，"A" 的某个子集的确有关于它的上确界。对于非空有限子集，这两种方式生成同样的结果，因此任何一个都可以作为并的定义。在 "A" 的每个子集都有并的情况下，实际上 ("A",formula_4) 是完全格；详情请参见完全性 (序理论)。
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