勾股数

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勾股数

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勾股数，又名商高数或毕氏数; 勾股数; 勾股数;（Pythagorean triple），是由三个正整数组成的数组；能符合勾股定理（毕式定理）「formula_1」之中，formula_2的正整数解。而且，基于勾股定理的逆定理，任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形。如果formula_2是勾股数，它们的正整数倍数，也是勾股数，即formula_4也是勾股数。若果formula_2三者互质（它们的最大公因数是 1），它们就称为素勾股数或本原勾股数组。找出素勾股数. 以下的方法可用来找出素勾股数。设formula_6、formula_7和formula_8均是正整数， formula_9 formula_10 formula_11 若formula_7和formula_8是互质，而且formula_7和formula_8为一奇一偶，计算出来的formula_2就是素勾股数。（若formula_7和formula_8都是奇数，formula_2就会全是偶数，不符合互质。）所有素勾股数可用上述列式当中找出，这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。例子. 以下是小于 100 的素勾股数：有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是 20 ，它在以下两组勾股数之中出现：formula_20与formula_21。其中最先例子是5，它在以下两组勾股数之中出现formula_22及formula_23。在 15,386 组素勾股数的 1229779565176982820 ，它的最小与最大的勾股数组是： formula_24 formula_25 formula_26 与 formula_24 formula_28 formula_29 试考虑它的质因数分解 formula_30 它质因数的个数涉及不少素勾股数。当然，数学上存在比它大的素勾股数。性质. 对于本原勾股数组formula_2，formula_1，我们有对于第二、三、四条性质的证明：利用完全平方数formula_37 若formula_34都不是3的倍数，则formula_39，导致formula_40 矛盾，所以formula_34一定有且只有一个数是3的倍数。因为formula_2是本原勾股数组，所以必有formula_34一奇一偶。不妨设formula_44为奇数，formula_45为偶数，这时候对formula_1两边同时formula_47，则会得到formula_48，故formula_49，所以formula_34一定有且只有一个数是4的倍数。利用完全平方数formula_51 若formula_33都不是5的倍数，则formula_53或formula_54或formula_55，而formula_56 或formula_57，矛盾，所以formula_33一定有且只有一个数是5的倍数。证毕。找寻勾股数的小技巧. 若需要一组最小数为奇数的勾股数，可任意选取一个 3 或以上的奇数，将该数自乘为平方数，除以 2，答案加减 0.5 可得到两个新的数字，这两个数字连同一开始选取的奇数，三者必定形成一组勾股数。但却不一定是以这个选取数字为起首勾股数的最小可能或唯一可能，例如formula_59并非是以 27 为起首的唯一勾股数，因为存在另一个勾股数是formula_60，同样也以 27 为首。对于任何大于1的整数formula_61，formula_62、formula_63与formula_64，三个数必为毕氏数，例如：代入formula_61为2，则formula_62为5，formula_63为3，formula_64为4，formula_22为一组毕氏数。推广. 费马最后定理指出，若formula_70，而formula_8是大于 2 的整数，formula_2即没有正整数解。

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