内切圆
在数学中，若一个二维平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是所谓的多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。它亦是多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。
一个多边形至多有一个内切圆，也就是说对于一个多边形，它的内切圆，如果存在的话，是唯一的。并非所有的多边形都有内切圆。三角形和正多边形一定有内切圆。拥有内切圆的四边形被称为圆外切四边形。
三角形的内切圆.
任何三角形formula_1都有内切圆。这个内切圆的圆心称为内心，一般标记为"I"，是三角形内角平分线的交点。在三线坐标，内心是1:1:1。
性质.
内切圆的半径为formula_2，当中formula_3表示三角形的面积，a、b、c为三角形的三个边长。
以内切圆和三角形的三个切点为顶点的三角形formula_4是formula_1的内接三角形之一。formula_1的内切圆就是formula_4的外接圆。而formula_8、formula_9和formula_10三线交于一点，它们的交点就是热尔岗点（Gergonne point）。内切圆与九点圆相切，切点称作费尔巴哈点（见九点圆）。
若以三角形的内切圆为反演圆进行反演，则三角形的三条边和外接圆会分别变为半径相等的四个圆（半径都等于内切圆半径的一半）。
三角形的外接圆半径"R"、内切圆半径"r" 以及内外心间距"OI" 之间有如下关系：
formula_11
直角三角形两股和等于斜边长加上该三角形内切圆直径
formula_12
由此性质再加上勾股定理formula_13，可推得：
formula_14
在直角座标系中，若顶点的座标分别为formula_15、formula_16、formula_17，则内心的座标为：
formula_18
四边形的内切圆.
不是所有的四边形都有内切圆，拥有内切圆的四边形称为圆外切四边形。凸四边形ABCD有内切圆当且仅当两对对边之和相等：formula_19。圆外切四边形的面积和内切圆半径的关系为：
formula_20，其中"s" 为半周长。
同时拥有内切圆和外接圆的四边形称为双心四边形。这样的四边形有无限多个。若一个四边形为双心四边形，那么其内切圆在两对对边的切点的连线相互垂直。而只要在一个圆上选取两条相互垂直的弦，并过相应的顶点做切线，就能得到一个双心四边形。
正多边形的内切圆.
正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。边长为"a" 的正多边形的内切圆半径为：
formula_21
其内切圆的面积为：
formula_22
内切圆面积formula_23与正多边形的面积formula_24之比为：
formula_25
故此，当正多边形的边数formula_26趋向无穷时，
formula_27
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