贝尔数

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贝尔数

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贝尔数以埃里克·坦普尔·贝尔命名，是组合数学中的一组整数数列，开首是（OEIS的（OEIS数列）数列）： formula_1 "B""n"是基数为"n"的集合的划分方法的数目。集合"S"的一个划分是定义为"S"的两两不相交的非空子集的族，它们的并是"S"。例如"B"3 = 5因为3个元素的集合{"a", "b", "c"}有5种不同的划分方法： "B"0是1因为空集正好有1种划分方法。空集的每个成员都是非空集合（这是Vacuous truth，因为空集实际上没有成员），而它们的并是空集本身。所以空集是它的唯一划分。贝尔数适合递推公式： formula_2 上述组合公式的证明：可以这样来想，formula_3是含有n+1个元素集合的划分的个数，考虑元素formula_4 假设他被单独划分到一类，那么还剩下n个元素，这种情况下划分个数为formula_5；假设他和某一个元素被划分为一类，那么还剩下n-1个元素，这种情况下划分个数为 formula_6；假设他和某两个元素被划分为一类，那么还剩下n-2个元素，这种情况下划分个数为 formula_7；依次类推，得到了上述组合公式它们也适合「Dobinski公式」： formula_8期望值为1的泊松分数的"n"次矩。它们也适合「Touchard同余」：若"p"是任意质数，那么 formula_9 每个贝尔数都是"第二类Stirling数"的和 formula_10 Stirling数"S"（"n", "k"）是把基数为"n"的集划分为正好"k"个非空集的方法的数目。把任一概率分布的"n"次矩以首"n"个累积量表示的多项式，其系数和正是第"n"个贝尔数。这种数划分的方法不像用Stirling数那个方法粗糙。贝尔数的指数母函数是 formula_11 贝尔三角形. 用以下方法建构一个三角矩阵（形式类似杨辉三角形）：结果如下：（） formula_15 每行首项是贝尔数。每行之和是第二类Stirling数。这个三角形称为贝尔三角形、Aitken阵列或Peirce三角形（Bell triangle, Aitken's array, Peirce triangle）。

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