等差数列
等差数列，又名算术数列（），是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等，该差值称为公差（--
例如数列：
3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
就是一个等差数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公差都相等。
性质.
如果一个等差数列的首项记作 "a1"，公差记作 "d"，那么该等差数列第 "n" 项 "an" 的一般项为：
formula_1
换句话说，任意一个等差数列 {"an"}都可以写成
formula_2
在一个等差数列中，给定任意两相连项 "a""n"+1 和 "an" ，可知公差
formula_3
给定任意两项 "am" 和 "an" ，则有公差
formula_4
此外，在一个等差数列中，选取某一项，该项的前一项与后一项之和，为原来该项的两倍。举例来说，"a"1 + "a"3 = 2"a"2。
更一般地说，有：
formula_5
证明如下：
formula_6
证毕。
从另一个角度看，等差数列中的任意一项，是其前一项和后一项的算术平均：
formula_7
此结果从上面直接可得。
如果有正整数 "m", "n", "p", "q"，使得 formula_8，那么则有：
formula_9
证明如下：
formula_10
由此可将上面的性质一般化成：
formula_11
formula_12
其中 "k" 是一个小于 "n" 的整数。
给定一个等差数列 formula_13，则有：
从等差数列的一般项可知，任意一个可以写成
formula_18
形成的数列，都是一个等差数列，其中公差 "d" = "q"，首项 "a" = "p" + "q"。
等差数列和.
一个等差数列的首 "n" 项之和，称为等差数列和（--
）或算术级数（--
），记作 "Sn"。
举例来说，等差数列 {1, 3, 5, 7}的和是 1 + 3 + 5 + 7 = 16。
等差数列求和的公式如下：
formula_19
等差数列和在中文教科书中常表达为:
一个等差数列的和，等于其首项与末项的和，乘以项数除以2。
公式证明如下：
将等差数列和写作以下两种形式：
formula_20
formula_21
将两公式相加来消掉公差 "d"，可得
formula_22
整理可得第一种形式。
代入 formula_23，可得第二种及第三种形式。
从上面的第三种形式展开可见，任意一个可以写成
formula_24
形成的数列和，其原来数列都是一个等差数列，其中公差 "d" = 2"q"，首项 "a" = "p" + "q"。
等差数列积.
一个等差数列的首 "n" 项之积，称为等差数列积（--
），记作 "Pn"。
举例来说，等差数列 {1, 3, 5, 7}的积是 1 × 3 × 5 × 7 = 105。
等差数列积的公式较为复杂，须以Γ函数表示：
formula_25
证明如下：
formula_26
这里的 formula_27 为 "x" 的 "n" 次上升阶乘幂，例子如 formula_28 。
使用上面的例子，对于数列 {1, 3, 5, 7}：
formula_29
结果相等。
生成维基百科快照图片，大概需要3-30秒！
如果网站内容有侵犯您的版权
请联系：pinbor@iissy.com
请联系：pinbor@iissy.com
Copyright ©2014 iissy.com, All Rights Reserved.