豪斯多夫维数

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豪斯多夫维数

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豪斯多夫维数又称作豪斯多夫-贝塞科维奇维数（）或分形维数，它是由德国数学家豪斯多夫（-- ）于1918年引入的。通过豪斯多夫维数可以定义任意度量空间的子集之维数，包括像是分形（-- ）等复杂的集合。对于简单的几何形状比如线、长方形、长方体等豪斯多夫维数等同于它们通常的几何维度或者说拓扑维度。通常来说一个物体的豪斯多夫维数不像拓扑维度一样总是一个自然数而可能会是一个非整的有理数或者无理数。通俗的描述. 从直觉上来说一个集合的维数是描述这个集合中一点所需的独立参数的个数。比如要描述一个平面里的一点我们需要两个坐标"x"和"y"，那么平面的维数便是2。最接近这个想法的数学模型是拓扑维度。可以预见拓扑维度必然是一个自然数。但是拓扑维度在描述某些不规则的集合比如分形的时候遭遇到了困难，而豪斯多夫维数则是一个描述该种集合的恰当工具。设想有一个由三维空间内具有有限大小的点组成的集合，"N"是用来覆盖这个集合内所有点所需的半径为R的球体的最少个数，则这个最小数"N"是"R"的一个函数，记作"N"("R")。显然"R"越小则"N"越大，假设"N"("R")和"R""d"之间存在一个反比的关系，我们把这个关系记作 formula_1 当"R"趋向于0时，我们得到 formula_2 重定向;重新导向;。在这里除了球体以外也可以使用正方体或其它类似的物体来覆盖集合内的点。如果是在一个二维平面内则应该使用圆而非球体。总之在一个"n"维空间则应该使用相应的"n"维物体。对于一条有限长度的曲线来说所需的“球体”的个数和它的半径成反比，那么曲线的豪斯多夫维数为1。对于一个平面而言，所需的“球体”的个数明显和它的半径的平方成反比，那么这个平面的豪斯多夫维数则为2。考察一个特殊的几何物体，这个物体由"n"个大小一致且互不重叠的小物体组成，这些小物体的形状和这个物体本身相同。若这些小物体和大物体的大小比例为1:"m"，那么这个几何物体的豪斯多夫维数为formula_3。若这些小物体的大小不同，设每个小物体与大物体的大小比例为formula_4，那么有formula_5。这里我们称其为相似维度。下面是两个例子：实际上豪斯多夫维数的计算并不像上面的例子那样简单，甚至可以说很不容易。请参看本条目的『计算』部分。严格的定义. 豪斯多夫外测度：令X为一个度量空间，E为X的一个子集，"d" ∈ [0, ∞)，定义 formula_8 则E的"d"次豪斯多夫外测度被定义为： formula_9 豪斯多夫维数：豪斯多夫维数被定义为豪斯多夫外测度从零变为非零值跳跃点对应的s值。严格的定义为： formula_10 郝斯多夫维数的性质. 联集或积的维度. 设formula_11可数个集合的联集，则 formula_12 此结果可以直接利用定义验证。如果formula_13是两个非空度量空间，那么其积的郝斯多夫维度满足 formula_14 上式的严格不等号是可能成立的，例如可以找到两个维度是0的集合，其积的维度是1 。在另一个方向，有个著名的结果是如果formula_15是博雷尔集，则其积的郝斯多夫维度有上界：formula_16的郝斯多夫维度加上formula_17的上填充维度，此结果在Mattila (1995)讨论. 计算. 豪斯多夫维数是不容易直接计算的，一般的可以通过计盒维数（Box-counting dimension）估计到它的一个上界，而且可以通过局部维数（点维数，Local dimension）估计到它的一个下界。自相似集的维数. 对于许多由自相似条件定义的碎形，其郝斯多夫维数可以依据以下的理论得出。其中一集合formula_18是自相似的如果存在压缩映射 formula_19 使得 formula_20 formula_21 事实上，如果formula_22都是压缩映射，那么存在唯一的非空紧致集合formula_23满足上上式。这个定理可将巴拿赫的巴拿赫不动点定理应用在完备度量空间（formula_24的非空紧致子集和郝斯多夫距离）。开集条件. 为了计算某些特定情况时的郝斯多夫维数，我们需要定义开集条件（open set condition 简称 OSC）：我们说映射formula_25满足开集条件如果非空有界开集formula_26使得 formula_27 其中上式联集的formula_28个集合两两不相交。开集条件是为了确保formula_26没有「太小」时，formula_30不要重叠「太多」，从而formula_31不要重叠「太多」（其中formula_32）。接著我们给出计算维数的定理：定理. 假设压缩映射formula_25满足开集条件，并且其缩放比例分别为formula_34。则对于唯一满足formula_32的集合，其郝斯多夫维数formula_36满足 formula_37 利用此定理，我们就可以简单的算出一些集合的郝斯多夫维数，例如康托尔集的郝斯多夫维数formula_36满足 formula_39 从而formula_40。

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