实分析，也称为实数分析、实变函数论（、），是处理实数及实函数的数学分析。专门研究实数函数及数列的解析特性，包括实数数列的极限，实函数的微分及积分、连续性、光滑性以及其他相关性质。 实分析常以基础集合论，函数概念定义等等开始。 内容. 实数的构造. 重定向;重新导向;字符;字元;文件; 档案;快捷方式; 捷径;项目;专案;计划;计划;计划;计算机; 电脑; 电脑; 有许多种将实数定义为有序域的方式。合成的作法会提供许多实数的公理，将实数变成完备有序域。在一般集合论的公理下，可以证明这些公理都是明确的，也就是说有一个公理的模型，任两个模型都是同构的。这些模型中需要有一个有明确的定义，而大部份的模型都可以用实数为有序域时的基本性质来得到。 实数的有序性. 实数有许多重要的特性是和数学中格的定义有关，这些性质也是复数所没有的。其中最重要的是，实数形成有序域，实数的有序满足反对称性、传递性及完全性，属于全序关系，而且实数有最小上界性。实数中的偏序关系带来了实变分析中许多重要的定理，例如单调收敛定理、介值定理及中值定理。 在实变分析中这些定理只针对实数，不过许多的结果可以应用在其他的数学对象。特别是许多泛函分析及中的概念是来自实数中概念的扩展，这类的扩展包括及的理论。也有数学家考虑复数数列的实部及虚部，例如算子数列的。 序列. 重定向;重新导向;字符;字元;文件; 档案;快捷方式; 捷径;项目;专案;计划;计划;计划;计算机; 电脑; 电脑; 序列是一个定义域为可数全序集合的函数，多半会让定义域是自然数或是所有整数。例如，一个实数的序列为以下定义的映射formula_1，常会表示为formula_2。若一序列会慢慢的接近一个极限（也就是存在formula_3 ），称此序列为收敛，否则则称此序列为发散。 极限. 重定向;重新导向;字符;字元;文件; 档案;快捷方式; 捷径;项目;专案;计划;计划;计划;计算机; 电脑; 电脑; 极限是指函数或序列在其输入接近一定值时，其输出数值所接近的特定定值。极限是微积分学及广义数学分析的基础，连续函数、导数及积分也是利用极限来定义。 连续函数. 重定向;重新导向;字符;字元;文件; 档案;快捷方式; 捷径;项目;专案;计划;计划;计划;计算机; 电脑; 电脑; 若函数的输入及输出值都是实数，可以表示成笛卡儿坐标系上的图形。粗略来说，若函数图形是一条连续未分割的曲线，其中没有「洞」或是「断点」，函数即为连续函数。 针对上述粗略的定义，在数学上有许多严谨的定义。这些定义彼此是等价的，因此会用最简单而方便的定义来确认一个函数是否是连续，在以下的定义中 formula_4 是一个定义在实数formula_5以内子集的函数，子集formula_6称为函数formula_7的定义域。子集formula_6的一些可能选择包括formula_9（所有实数）、以下的开区间 formula_10 或闭区间 formula_11 因此formula_12及formula_13是实数。 一致连续是连续函数中，比连续函数更强的性质。若"X"和"Y"是实数子集，函数formula_14为一致连续的条件是针对所有大于0的实数formula_15，存在一实数formula_16，使得针对所有的formula_17即表示formula_18。 一致连续和每一点连续的差异在一致连续时，formula_19值只和formula_15值有关，和该值在定义域中的位置无关。一般情况下，连续不意味著均匀连续。 级数. 重定向;重新导向;字符;字元;文件; 档案;快捷方式; 捷径;项目;专案;计划;计划;计划;计算机; 电脑; 电脑; 给定一无穷序列 formula_21，即可定义相关的级数为formula_22，有时会简称为formula_23。级数的部份和formula_23为formula_25。级数formula_23收敛的条件是部份和的数列formula_27收敛，否则级数即称为发散。收敛级数的和formula_28定义为formula_29. 等比数列的和就是一个收敛级数，也是芝诺悖论的基础： formula_30. 以下的调和级数即为发散级数： formula_31. （此处“formula_32”不是严谨的表示方式，只是表示部份和会无限制地増长） 微分. 重定向;重新导向;字符;字元;文件; 档案;快捷方式; 捷径;项目;专案;计划;计划;计划;计算机; 电脑; 电脑; 函数formula_7在formula_12位置的导数为以下的函数极限 formula_35 若导数在所有位置都存在，称函数为可微分，可以再继续计算函数的高阶导数。 也可以将函数依其微分分类来区分。分类formula_36包括所有连续函数，分类formula_37包括所有导数连续的可微函数，这类函数称为「连续可微」。分类formula_37是指其导数在分类formula_37中的函数。一般来说，分类formula_40可以用递归方式定义，定义方式是宣告分类formula_36是所有的连续函数，而分类"formula_40"（formula_43为正整数）是所有可微，而且其导数为formula_44的函数。而分类"formula_40"包括在分类formula_44中，对所有的正整数"formula_43"都成立。分类formula_48是所有"formula_40"的交集，其中"formula_43"为所有的非负整数。formula_51包括所有的解析函数，是分类formula_48的严格子集。 积分. 黎曼积分. 重定向;重新导向;字符;字元;文件; 档案;快捷方式; 捷径;项目;专案;计划;计划;计划;计算机; 电脑; 电脑; 黎曼积分定义函数的黎曼和，对应为一个区间内的标记分区（tagged partitions）。令formula_53为实数下的封闭区间，则在区间formula_53内的标记分区为有限数列 formula_55 将区间formula_53分隔为formula_57个下标为formula_58子区间formula_59，每一个用不同的点formula_60来标记。函数f对应标记分区的黎曼和定义为 formula_61 则和的每一项都是长方形的面积，其高为函数在给定子区间内，标示点的数值，宽和子区间的宽相等。令formula_62为子区间"formula_58"的宽，则标记分区的网格为长子区间中最宽区间的宽度formula_64。函数formula_7在区间formula_53内的黎曼积分等于formula_67若： 对所有formula_68，存在formula_69使得，对于任何有标示，且网格小于formula_19的区间formula_53，以下的式子成立 formula_72 若选定的标示都是每个区间内函数的最大值（或最小值），黎曼积分就会成为上（或下）达布和，因此黎曼积分和达布积分有紧密的关系。 勒贝格积分. 重定向;重新导向;字符;字元;文件; 档案;快捷方式; 捷径;项目;专案;计划;计划;计划;计算机; 电脑; 电脑; 勒贝格积分是一种积分概念，可以将积分延伸到更大范围的函数，同时也拓展函数的定义域。 分布. 重定向;重新导向;字符;字元;文件; 档案;快捷方式; 捷径;项目;专案;计划;计划;计划;计算机; 电脑; 电脑; 分布或是广义函数是一种将函数扩展后产生的概念。透过分布可以针对一些在传统定义下其导数不存在的函数进行微分（例如单位阶跃函数）。而任何局部可积函数都一定会有广义函数下的导数。 和复变分析的关系. 实变函数论是数学分析的一部份，探讨像数列及其极限、连续性、函数的导数及积分。实变分析专注在实数，多半会包括正负无穷大以形成扩展实轴。实变分析和研究复数对应性质的复分析紧密相关。在复分析中，很自然的会对全纯函数定义导数，全纯函数有许多有用的性质，包括多次可微、可以用幂级数表示，而且满足柯西积分公式。 实变分析中也很自然的去考虑可微、光滑函数或调和函数，这些也常常用到，不过仍少了一些复变中全纯函数中有力的性质。而且代数基本定理若以复数表示时会比较简单。 复变中解析函数理论的技巧也可以用在实变分析，例如应用留数定理来计算实变函数的定积分。 重要结果. 实分析的重要结果包括波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理、海涅－博雷尔定理、介值定理、中值定理、微积分基本定理及单调收敛定理。 实分析的许多概念可以扩展到广义的度量空间，包括巴拿赫空间及希尔伯特空间。