超复数是复数在抽象代数中的引申，通常是实数域上某个有限维的单位代数的元素。19世纪后期对超复数的研究，成为现代群表示论的根基。 此种代数举例如下： 历史. 19世纪，实数系和复数系之外的若干数系，如四元数系、双复数系、分裂四元数系、复四元数系、八元数系，成为数学文献中完善的概念。超复数是涵盖该些数系的概念，吸引学者研究和分类。 分类工作始于本杰明·皮尔士的1872年文章〈线性结合代数〉，并由其子查尔斯·桑德斯·皮尔士接续。重要的是，二人认定幂零元和幂等元皆对分类有用。凯莱－迪克森构造利用对合，从实数系开始，生成复数系、四元数系、八元数系。赫维兹和弗罗贝尼乌斯证明超复数的若干限制：赫维兹定理断言有限维的实仅得实数系formula_1、复数系formula_2、四元数系formula_3、八元数系formula_4，而断言，实仅得formula_1、formula_2、formula_3。1958年，考虑"H"-空间（有具单位元的连续乘法的拓扑空间）的霍普夫不变量，发表推广的结果，该结果仍将维数限制在1、2、4、8。 矩阵代数对研究超复数系帮助很大。首先，矩阵提供新的超复数系，例如formula_8实矩阵组成的代数（同构于分裂四元数）。很快，矩阵方法解明其他超复数系，因为该些超复数系也可以用矩阵及其运算表示。1907年，约瑟夫·韦德伯恩证明，满足结合律的超复数系可表示为方阵代数或其直积。此后，结合代数成为较常用来称呼超复数系的术语，例如韦德伯恩在爱丁堡大学的学位论文标题便用了此术语。然而，也有不可结合的数系，例如八元数系和，也算是另一类的超复数。 汤马士·霍金斯（Thomas Hawkins）解释，超复数是研究李群和群表示论的踏脚石。例如，1929年，埃米·诺特发表〈超复量与表示论〉。1973年，和索洛多夫尼科夫（A. S. Solodovnikov）出版关于超复数的德文教科书，该书于1989年翻译成英文。 详细介绍全盛期的超复数研究，包括数学家和的贡献。关于超复数至近世代数的过渡，在《代数史》有三十页专论超复数。 二维实代数. 关于二维实代数有以下定理：:14,15在同构意义下，实域上的二维单位代数恰有3个：复数系、双曲复数系、二元数系。于是，实域上的所有二维单位代数皆可结合和可交换。 下段简述定理的证明。 因为给定的代数是二维，可选一组基formula_15。因为代数对乘法封闭，formula_16的平方仍是代数的元素，故可写成线性组合： formula_17 其中formula_18为实系数。 运用常见的配方法，两边减走formula_19并加上formula_20，得： formula_21 所以formula_22，其中formula_23是实数。 取决于此实数值，分别有三种情况： 从而定理成立。 复数系是以上三个二维实代数中唯一一个域。若代数具有1的非实平方根formula_36（如双曲复数），则也有幂等元formula_46和零因子（因为formula_47），故此种代数必不为#重定向 重定向;重新导向;字符;字元;文件; 档案;快捷方式; 捷径;项目;专案;计划;计划;计划;计算机; 电脑; 电脑;。然而，此种性质有时很有用，例如双曲复数适用于描述狭义相对论的劳仑兹变换。 《数学杂志》在2004年的某版中，称二维实代数为「广义复数」（generalized complex numbers）。四个复数交比的概念也可以推广到其他二维实代数。 高维例子（有多于一条非实轴）. 克里福代数. 克里福代数是由赋有二次型的向量空间所生成的单位结合代数。在实域上，其等价于可以定义对称纯量积formula_48，正交化该二次型，以得到基formula_49，满足： formula_50 由乘法封闭性，该向量空间的基相乘得到formula_51个，即formula_52，皆为克里福代数的元素，且组成该代数的基（不同于原向量空间的基），可视为一个超复数系的基。与原向量空间的基formula_49不同，该代数的其他基元素不一定反交换，而是取决于将两个因子对调时，会交换的简单因子（即formula_54）有奇数对抑或偶数对。所以，formula_55，但formula_56。 若不允许formula_57（即二次型），则余下的克里福代数可记为formula_58，表示其为formula_59个满足formula_60的简单基元和formula_61个满足formula_62的简单基元生成的代数，而括号内的formula_63指明此为实域上的克里福代数，即元素的系数为实数。 该些代数称为，组成有规律的一族。该族代数适用于描述转动、相位、自旋，因此在古典和量子力学、电磁学、相对论方面很有用。 此族代数包括：复数系formula_64、双曲复数系formula_65，四元数系formula_66、formula_67、分裂四元数系formula_68（二维空间生成的自然代数）、formula_69（三维空间生成的自然代数，也是包立矩阵生成的代数）、formula_70。 代数formula_71可以视为代数formula_72的偶子代数formula_73，从而可用作描述formula_72中的旋转。因此，复数密切关系二维空间的旋转，四元数密切关系三维空间的旋转，双曲复数密切关系1+1维时空的双曲旋转（洛仑兹变换），余可类推。 虽然八维或以上时，凯莱-迪克森结构和分裂复数构造的乘法不可结合，任意维数的克里福代数皆可结合。 1995年，有关克里福代数的书中，论及「子代数的辨认」。其命题11.4总结超复数的情况： 设formula_75为实结合代数，且具有单位元formula_76。则 * formula_76生成formula_63（实子代数）， * 若formula_79是任何满足formula_80的元素，则其生成的二维子代数与formula_81同构（复子代数）， * 若formula_79是任何满足formula_83的元素，则其生成的二维子代数与formula_84同构（此处formula_84是实二元组的集合，其上的乘法是逐个分量相乘。该代数与双曲复代数同构）， * 若formula_86，且formula_87反交换，则formula_88生成的四维子代数同构于formula_89（四元数代数）， * 若formula_90，且formula_87反交换，则formula_88生成的四维子代数同构于formula_93（元素为formula_8实矩阵，或分裂四元数）， * 若formula_95，且formula_96两两反交换，则其生成的八维子代数同构于formula_97（）， * 若formula_98，且formula_96两两反交换，则其生成的八维子代数同构于formula_100（元素为formula_8复矩阵，亦可视为复四元数或包立代数）。 超出该些古典代数的延伸，见。 凯莱－迪克森构造. 撇除实数系、复数系、四元数系不计，其他克里福代数formula_102皆含有平方为formula_103的非实数，故不能为除代数。凯莱－迪克森构造是另一个扩展复数系的方法，其给出维数为formula_104的数系，该些数系的基formula_105满足：所有非实的基元两两反交换，且formula_106。在8维或以上时（即formula_107），该些代数不可结合，而在16维或以上时（即formula_108），该些代数有零因子。 此构造得到的前几个代数是4维的四元数系、8维的八元数系、16维的十六元数系。随维数上升，其代数结构的对称性逐一失去：四元数乘法不可交换，八元数乘法不可结合，而十六元数的范数不具积性。 凯莱－迪克森构造的某些步骤中，若插入额外的符号，则得到中的「分裂代数」，而非除代数： 分裂复数系：有基formula_109，满足formula_110， 分裂四元数系：有基formula_111，满足formula_112， ：有基formula_113，满足formula_114，formula_115。 与复数系不同，分裂复数系并非代数闭，甚至包含非平凡的零因子和幂等元。与四元数系类似，分裂四元数系亦不可交换，但同时还含有幂零元。分裂四元数与二阶方阵的代数同构。分裂八元数系不可结合，也含有幂零元。 张量积. 两个代数的张量积仍为代数，如此可构造更多超复数系。 作为例子，取2维实代数formula_116（复数系）、4维实代数formula_89（四元数系）、8维实代数formula_118（八元数系），分别与formula_119作张量积，依次得4维的双复数系formula_120、8维的复四元数系formula_121、16维的复八元数系formula_122。