B样条

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在数学的子学科数值分析里，B-样条是样条曲线一种特殊的表示形式。它是B-样条基曲线的线性组合。B-样条是贝兹曲线的一种一般化，可以进一步推广为非均匀有理B样条（NURBS），使得我们能给更多一般的几何体建造精确的模型。 De Boor算法是一个数值上稳定的计算B样条的方法。术语 "B样条"是Isaac Jacob Schoenberg创造的，B 是基（basis）样条的缩略。定义. 给定"m"+1 个节点"t""i" ，分布在[0,1]区间，满足 formula_1 一个"n"次B样条是一个参数曲线： formula_2 它由"n"次B样条基(basis B-spline)组成 formula_3. P"i"称为控制点或de Boor点. "m"+1个"n"次B样条基可以用Cox-de Boor递归公式定义 formula_4 formula_5 当节点等距，称B样条为均匀(uniform)否则为非均匀(non-uniform)。均匀B样条曲线. 当B样条是均匀的时候，对于给定的"n"，每个B样条基是其他基的平移拷贝而已。一个可以作为替代的非递归定义是 formula_6 满足 formula_7 满足 formula_8 其中 formula_9 是截断幂函数（truncated power function）注解. 当节点数和多项式次数相等时，B样条退化为贝兹曲线。即函数的形状由节点的位置决定。缩放或者平移节点向量不会改变基函数。样条包含在它的控制点的凸包中 "n"次B样条的一个基 formula_10 仅当在区间["t""i", "t""i+n+1"]上非0。就是 formula_11 换句话说，如果我们操作一个控制点，我们只改变曲线在局部的行为，而不像Bezier曲线那样是全局行为。例子. 常数B样条. 常数B样条是最简单的样条。只定义在一个节点距离上，而且不是节点的函数。它只是不同节点段（knot span）的指示函数。 formula_12 线性B样条. 线性B样条定义在两个相邻的节点段上，在节点连续但不可微。 formula_13 三次B样条. 一个片断上的B样条的表达式可以写作： formula_14 其中S"i"是第"i"个B样条片断而P是一个控制点集，"i"和"k"是局部控制点索引。控制点的集合会是formula_15的集合，其中formula_16是比重，当它增加时曲线会被拉向控制点formula_17，在减小时则把曲线远离该点。片段的整个集合"m"-2条曲线（formula_18）由"m"+1个控制点（formula_19）定义，作为"t"上的一个B样条可以定义为 formula_20 其中"i"是控制点数，"t"是取节点值的全局参数。这个表达式把B样条表示为B样条基函数的线性组合，这也是这个名称的原因。有两类B样条-均匀和非均匀。非均匀B样条相邻控制点间的距离不一定要相等。一个一般的形式是区间随着插入控制点逐步变小到0。 B样条的程式指令. Matlab. In Matlab，the command“spline” can be used for spline interpolation. Cubic B-Spline Interpolation by Matlab Generating a sine-like spline curve and samples it over a finer mesh: x = 0:1:10; % original sampling points y = sin(x); xx = 0:0.1:10; % new sampling points yy = spline(x,y,xx); plot(x,y,'o',xx,yy) Python. 事前安装模组 Cubic B-Spline Interpolation by Python from scipy.interpolate import interp1d import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np x = np.arange(0, 11) # original sample points, [0, 1, 2, …, 9, 10] y = np.sin(x) f = interp1d(x, y, kind=' cubic ') ) # Cubic means the cubic B-spline. x_new = np.arange(0, 10.1, 0.1) # new sample points, [0, 0.1, 0.2, ….., 9.9, 10] y_new = f(x_new) plt.plot(x,y,'o',x_new, y_new) plt.show() B样条曲线及曲面相关算法. 关于此处涉及的算法，在著作中有针对Bézier、B样条（B-spline）以及非均匀有理B样条（Nurbs）的相关算法的详细数学表达和程序实现方法。求导. 在几何处理中，对参数曲线及曲面的求导是最基本的运算之一，由于参数表达的特性，在给定点的切线及法线可通过求导直接得到。先来考察曲线的情形：采用本页定义中的B样条曲线表达式 formula_3 对参数formula_22进行求导： formula_23 参考. 本条目部分或全部内容出自以GFDL授权发布的《自由线上电脑词典》（FOLDOC）。参考文献.

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