分离公理
分离公理
在拓扑学及相关的数学领域里，通常对于所讨论的拓扑空间加有各种各样的限制条件，分离公理即是指之中的某些限制条件。这些分离公理有时候被叫做吉洪诺夫分离公理，得名于安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪诺夫。部分分离公理以字母T开头，是由德文单词“Trennung”而来，意义是分离。
分离公理之所以称为公理，是因为以前定义拓扑空间时，有些人会将其也做为公理来定义，而得出较现在意思狭义的拓扑空间。但在拓扑空间的公理化完成后，那些都成了「各种」的拓扑空间。然而，「分离公理」这一词就这样固定了下来。
初步定义.
在定义分离公理之前，让我们先了解在拓扑空间中，可分离的集合(和点)的具体含意。（须注意的是，可分离的集合不一定等同于下一节所定义的「分离空间」。）
分离公理是利用拓扑的方法来分辨不相交的集合及相区别的点。不只要拓扑空间内的元素是相区别的，更要这些元素是「拓扑可区别的」；不只要拓扑空间内的子集是不相交的，更要这些子集是（以某种方式）「可分离的」。分离公理声称，无论如何，若点或集合在某些较弱意思下是可区别的或可分离的，也必须在某些较强的意思下是可区别或可分离的。
设formula_1为一拓扑空间，formula_2，formula_3是实数集，定义：
formula_4称为拓扑可区分的，当且仅当formula_4的邻域系formula_6和formula_7不相等（即，存在某个formula_8的邻域，不是formula_9的邻域，或反之）。
formula_4称为可分离的，当且仅当formula_11和formula_12都为空。（formula_13是formula_8的闭包）。注意：formula_15可以不为空。
formula_4称为邻域可分离的，当且仅当存在formula_8的邻域formula_18和formula_9的邻域formula_20，使得formula_21为空。
formula_4称为闭邻域可分离的，当且仅当存在formula_8的闭邻域formula_18和formula_9的闭邻域formula_20，使得formula_21为空。
formula_4称为函数可分离的，当且仅当存在连续函数formula_29，使得formula_30，formula_31。
formula_4称为函数完全分离的，当且仅当存在连续函数formula_29，使得formula_34，formula_35。
对于formula_1中的点formula_37（或点formula_38和子集formula_8），称它们为拓扑可分，可分离，邻域可分离等等，当且仅当单元素集合formula_40和formula_41（或formula_40和子集formula_8）是拓扑可分，可分离，邻域可分离等等。
以上这些条件是按强度依序给出的：任何两个拓扑可区分的点也必然是相区分的，任何两个分离的点也必然是拓扑可区分的。更进一步地说，任何两个可分离的集合也必然是不相交的，任何两个领域上可分离的集合也必然是可分离的，以此类推。
上述条件更详细的叙述(包括分离公理外的用途)，请参见分离集合和拓扑不可区分性等条目。
主要定义.
下面的定义都会直接使用到上面的初步定义。
大部份的分离公理都会有另一个等价的定义。下面所给出的定义会维持一致的模式，以和上一节所定义的许多分离的概念相连结。其他等价的定义则分别写在个别的条目之中。
在下面所有的定义之中，"X"是一个拓扑空间，所有的函数都假设为连续的。
各空间之间的关系.
T0空间很特别，因为它不只可以当做一个性质加在其他空间上（如完全正则空间加上T0即为吉洪诺夫空间），也可以由某个空间中删去此一性质（如豪斯多夫空间删去T0即为R1空间）；更多资讯请见柯尔莫果洛夫商空间。当其应用在分离公理时，便会导致如下表所列的关系：
在表中，利用柯尔莫果洛夫商空间运算，右边的空间加上T0即为左边的空间，左边的空间删去T0即为右边的空间。
除了T0的加上及删去之外，各空间之间的关系则可由下图指明出来：
在图中，无T0版本的空间在斜线的左边，T0版本的空间则在斜线的右边。之中的字母代表的意思：
P为完美（perfectly）、C为完全（completely）、N为正规（normal）、R为正则（regular）。
黑点代表该空间没有给定名称。
结合两个空间的性质最后会产生的空间可由上图得知，只要看两点向上的分支会交会在哪一点即可。例如，若有一个空间同时为完全正规（CN）及完全豪斯多夫（CT2）空间，则查看两点向上的分支，会发觉为「•/T5」。因为完全豪斯多夫空间为斜边的T0端（即使完全正规空间不是），最后得到的空间便会在斜边的T0端。亦即，完全正规完全豪斯多夫空间即为T5空间。
再看一次上图，正规空间及R0空间结合在一起，由于会经过许多右侧的分支，也意指会产生许多两个空间所没有的其他性质。因为正则性是之中最为人知的性质，结合正规空间及R0空间而成的空间一般称为「正规正则空间」。基于类似的想法，正规T1空间通常称为「正规豪斯多夫空间」。上述的惯用名称可以延伸至其他正则空间与豪斯多夫空间之上。
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