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布尔值模型

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在数理逻辑中，布尔值模型是普通的塔斯基主义者的结构或模型概念的推广，在其中命题的真值不被限定为"真"和"假"，而是从某个固定的完全布尔代数中取值，布尔值模型是 Dana Scott、Robert M. Solovay 和 Petr Vopěnka 在1960年代为了帮助理解 Paul Cohen 的力迫方法而介入的。定义. 固定一个完全布尔代数 "B" 和一阶语言 "L"，后者由一组常量符号、函数符号和关系符号构成。"L" 的布尔值模型因此就由全集 "M"，它是元素(或名字)的集合，和对这些符号的释义组成。特别是，这个模型必须为 "L" 的每个常量符号指派一个 "M" 的元素，并为 "L" 的每个 "n"-元函数符号 "f" 和 "n"-元组中的每一个指派 "M" 的元素，这个模型必须为项 "f"(a0...,a"n"-1) 指派 "M" 的元素。关系符号和等式的释义是更加复杂的: 对 "M" 每对元素 "a", "b"，模型必须为表达式 "a"="b" 指派一个真值 ||"a"="b"|| ；这个真值取自 "B"。类似的，对于 "L" 的每个 "n"-元关系符号 "R" 和 "n"-元组中的每一个指派 "M" 的元素，这个模型必须指派 "B" 的一个元素为 ||"R"(a0...,a"n"-1)|| 的真值。 "需要写些文字来解释在释义等式上的额外限制，保证它是等价关系并且这个关系顾及了等价事物的代换。" 其他公式和句子的释义. 其他公式可以使用布尔代数来释义；对于命题连结词这是很容易的；你可以简单的在子公式的真值上应用对应的布尔运算符。例如，如果 φ("x") 和 ψ("y","z") 分别是带有一个和两个自由变量的公式，并且是要代换 "x"、"y" 和 "z" 为模型的全集的元素 "a"、"b" 和 "c"，则 formula_1 的真值简单的是 formula_2 对于量化的公式，我们需要利用布尔代数 "B" 的完全性。如果 φ("x") 是带有自由变量 "x"(可能还有其他我们忽略的自由变量)，则 formula_3 这里右手端要被理解为在 "B" 中所有真值 ||φ("a")|| 的上确界，这里 "a" 的范围在 "M" 之上。一个公式的真值有时被称为它的可能性。它不能理解为一般意义上概率，它们不是实数而是完全布尔代数的 "B" 的元素。集合论的布尔值模型. 给定一个完全布尔代数 "B"，有一个指示为 "VB" 的布尔值模型，它是冯·诺伊曼全集 "V" 的布尔取值的类似者。(严格的说，"VB" 是真类，所以我们需要适当的重新解释对于模型意味着什么)。非形式的说，我们认为 "VB" 是像“布尔值集合”的某种东西；换句话说，布尔值集合，不再有定义分明的元素和非元素，而有带有是这个集合的元素的特定“可能性”的对象。这个“可能性”是 "B" 的一个元素，不是实数。这不同于模糊集合的概念。布尔值集合的(“可能的”)元素，依次也是布尔值集合，它的元素也是布尔值集合，以此类推。要得到布尔值集合的非循环定义，我们需要有层次的建造它们。所以对于 "V" 的每个序数 α 我们定义集合 "VαB" 为: "VαB" 是 β<α 的 "VβB" 的并集，如果 α 是极限序数(包括 0)。 "Vα+1B" 是从 "VαB" 到 "B" 的所有函数的集合。(这种函数表示 "VαB" 的“可能的”子集；如果 "f" 是这种函数，则对于任何 "x"∈"VαB"，"f"("x") 是 "x" 在这个集合中的可能性)。我们定义类 "VB" 是所有集合 "VαB" 的并集。有可能相对化这个完整构造于 ZF (或者有时它的片段)的某个传递模型 "M"。在这种情况下我们通过应用上述构造于 "M" 内部而构造布尔值模型 "M""B"。对传递模型的限制是不严重的，因为Mostowski塌陷引理蕴涵了所有合理的(良基的外延)模型同构于传递模型。(如果模型 "M" 不是传递事物而使其变得更加杂乱，因为 "M" 对什么意味着是“函数”或“集合”的释义可能不同于“外延”释义)。接着我们需要在集合 "VB" 上定义两个 "B"-值的等于关系和成员关系。(在 "VB" 上的 "B"-值关系是从 "VB"×"VB" 到 "B" 的函数)。为了避免混淆于通常的等式和成员关系，对于在 "VB" 中的 "x" 和 "y"，它们指示为 ||"x"="y"|| 和 ||"x"∈"y"|| 被定义为 ∑"t"∈Dom("y") ||"x"="t"|| ∧ "y"("t") (""x" 在 "y" 中如果它等于在 "y" 中的某个东西") ||"x"="y"|| 被定义为 ||"x"⊆"y"||∧||y⊆"x"|| (""x" 等于 "y" 如果 "x" 和 "y" 相互都是对方的子集")，这里的 ||"x"⊆"y"|| 被定义为 ∏"t"∈Dom("x") "x"("t")⇒||"t"∈"y"|| (""x" 是 "y" 的子集如果所有 "x" 的元素都在 "y" 中") 符号 ∑ 和 ∏ 意味着我们在完全布尔代数 "B" 中采用最小上界和最大下界。第一眼看来上述定义好像是循环的: || ∈ || 倚赖于 || = ||，它依赖于 || ⊆ ||，它依赖于 || ∈ ||。但是闭合检查证实了 || ∈ || 的定义只对于更小阶的元素依赖于 || ∈ ||，所以 || ∈ || 和 || = || 是从 "VB"×"VB" 到 "B" 的良好定义的函数。最后我们需要检查在 "VB" 上的这两个 "B"-值的关系 || ∈ || 和 || = || 使 "VB" 成为集合论的布尔值模型。没有自由变量的每个一阶集合论的句子都在 "B" 中有一个值，我们需要检查等式的所有公理和 ZF 集合论的所有公理(没有自由变量的)有 "B" 的元素“真”的值。这是直接了当的，但是要花很长时间因为有很多不同的公理需要检查。

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