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皮克定理

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给定顶点座标均是整点（或正方形格子点）的简单多边形，皮克定理说明了其面积 formula_1 和内部格点数目 formula_2 、边上格点数目 formula_3 的关系：formula_4。证明. 因为所有简单多边形都可切割为一个三角形和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形 formula_5 ，及跟 formula_5 有一条共同边的三角形 formula_7 。若 formula_5 符合皮克公式，则只要证明 formula_5 加上 formula_7 的 formula_11 亦符合皮克公式（I），与及三角形符合皮克公式（II），就可根据数学归纳法，对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。多边形. 设 formula_5 和 formula_7 的共同边上有 formula_14 个格点。 formula_20 formula_21 三角形. 证明分三部分：证明以下的图形符合皮克定理：矩形. 设矩形 formula_22 长边短边各有formula_23,formula_24个格点： formula_28 formula_29 formula_30 formula_31 直角三角形. 易见两条邻边和对角线组成的两个直角三角形全等，且 formula_2 , formula_3 相等。设其斜边上有 formula_14 个格点。 formula_37 formula_38 formula_39 formula_40 一般三角形. 逆运用前面对2个多边形的证明：既然矩形符合皮克定理，直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若P，T符合皮克公式，则 formula_5 加上 formula_7 的 formula_11 亦符合皮克公式。那么由于矩形可以分解成1个任意三角形和至多三个直角三角形。于是显然有，只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候，才会使得在直角三角形符合的同时，矩形也符合。定理提出者. Georg Alexander Pick，1859年生于维也纳，1943年死于特莱西恩施塔特集中营。

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