勒贝格测度
在测度论中，勒贝格测度（Lebesgue measure）是欧几里得空间上的标准测度。对维数为1，2，3的情况，勒贝格测度就是通常的长度、面积、体积。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予勒贝格测度的集合称为勒贝格可测集；勒贝格可测集 "A" 的测度记作 "λ" ("A") 。一般来说，我们允许一个集合的勒贝格测度为 ∞ ，但是即使如此，在假设选择公理成立时，R"n" 仍有勒贝格不可测的子集。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。
勒贝格测度以法国数学家昂利·勒贝格命名。勒贝格于1901年首次提出这一测度，次年又给出勒贝格积分的定义，并收录进他的学位论文中。
问题起源.
人们知道，区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广到比区间更复杂的集合。
我们想构造一个映射 "m" ，它能将实数集的子集 "E" 映射到非负实数 "m"("E") ，并称这个数为集合 "E" 的测度。最理想的情况下，"m" 应该具有以下性质：
{"x"+"k" : "x" ∈ "E"} （即将 "E" 的每个元素各加上同一个实数 "k" 所得到的集合），则 "m"("E"+"k")
"m"("E") 。
遗憾的是，这样的映射是不存在的。人们只能退而求其次，寻找满足其中部分条件的映射。勒贝格测度是满足后三条性质的例子。另一个例子是若尔当测度，它只满足有限可加性。
定义.
区间formula_2的长度定义为formula_3。对formula_4，勒贝格外测度定义为
对每一列能覆盖formula_5的开区间formula_6，作长度和formula_7。所有这些formula_8组成一个有下界的数集，下确界称为勒贝格外测度，记做formula_9。
勒贝格测度定义在勒贝格σ代数上。若集合formula_5满足：
对所有formula_11，皆有formula_12
则formula_5为勒贝格σ代数的元素，称为勒贝格可测集。对勒贝格可测集，其勒贝格测度formula_14就定义为勒贝格外测度formula_9。
不在勒贝格σ代数中的集合不是勒贝格可测的，这样的集合确实存在，故勒贝格σ代数严格包含于formula_16的幂集。
性质.
设集合 "A" 与 "B" 是在 R"n" 上的集合。勒贝格测度有如下的性质：
{"x"+"k" : "x" ∈ "A"} （即将 "A" 平移 "k" 个单位），则 "B" 也是勒贝格可测的，并且 formula_35 。
{"kx" : "x" ∈ "A"} （即将 "A" 缩放 "k" 倍，formula_36），则 "B" 也是勒贝格可测的，并且 formula_37 。
简要地说，formula_23的勒贝格可测子集组成一个包含所有区间的笛卡尔积的σ-代数，且 "λ" 是其上唯一的完备的、平移不变的、满足formula_41 的测度。
勒贝格测度是σ-有限测度。
零测集.
formula_23的子集 "A" 是零测集，如果对于任意formula_28，"A" 都可以用可数多个盒（即 "n" 个区间的乘积）来覆盖，且其总体积最多为formula_44。所有可数集都是零测集。
如果formula_23的子集的豪斯多夫维数小于formula_46，那么它是关于"formula_46"维勒贝格测度的零测集。在这里，豪斯多夫维数是相对于formula_23上的欧几里得度量（或任何与其利普希茨等价的度量）而言。另一方面，一个集合可能拓扑维数小于formula_46，但具有正的formula_46维勒贝格测度。一个这样的例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集，它的拓扑维数为0，但1维勒贝格测度为正数。
为了证明某个集合"A"是勒贝格可测的，我们通常尝试寻找一个“较好”的集合"B"，与"A" 的对称差是零测集，然后证明"B"可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。
勒贝格测度的构造.
勒贝格测度的现代构造基于外测度，并应用卡拉西奥多里扩张定理。
固定formula_51formula_52中的盒子是形如formula_53的集合，其中formula_54，连乘号代表笛卡尔积。盒子的体积定义为formula_55
对于formula_23的任何子集"A"，可以定义它的外测度formula_57
formula_58是可数个盒子的集合，它们的并集覆盖了formula_59
然后定义集合"A"为勒贝格可测的，如果对于所有集合formula_60，都有：
formula_61
这些勒贝格可测的集合形成了一个σ代数。对于任何勒贝格可测的集合"A," 其勒贝格测度定义为formula_62
勒贝格不可测集合的存在性是选择公理的结果。根据维塔利定理，存在实数R的一个勒贝格不可测的子集。如果"A"是formula_52的子集，且其测度为正，那么"A"便有勒贝格不可测的子集。
1970年，Robert M. Solovay证明了，在不带选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论中，勒贝格不可测集的存在性是不可证的（见Solovay模型）。
与其他测度的关系.
若 "A" 博雷尔可测，则其博雷尔测度与勒贝格测度一致；然而，更多的勒贝格可测集是博雷尔不可测的。博雷尔测度是平移不变的，但不是完备的。
哈尔测度可以定义在任何局部紧群上，是勒贝格测度的一个推广（带有加法的formula_23是一个局部紧群）。
豪斯多夫测度（参见豪斯多夫维数）是勒贝格测度的一个推广，对于测量formula_23的维数比"n"低的子集是很有用的，例如R³上的曲线、曲面，以及分形集合。注意不能把豪斯多夫测度与豪斯多夫维数混淆。
可以证明，无法在无穷维空间上定义类似的勒贝格测度。
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