最大下界

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最大下界

最大下界在数学中，某个集合 "X" 的子集 "E" 的下确界( 或 -- ，记为 inf "E" )是小于或等于的 "E" 所有其他元素的最大元素，其不一定在 "E" 内。所以还常用术语最大下界（简写为 glb 或 GLB）。在数学分析中，实数的下确界是非常重要的常见特殊情况。但这个定义，在更加抽象的序理论的任意偏序集合中，仍是有效的。下确界是上确界概念的对偶。实数集合的下确界. 在数学分析中，实数的子集 "S" 的下确界或最大下界记为 inf("S")，定义为小于等于在 "S" 中的所有数的最大实数。如果没有这样的数存在（因为 "S" 没有下界），则我们定义 inf("S") = −∞。如果 "S" 是空集，我们定义 inf("S") = ∞（参见扩展的实数轴）。实数的一个重要性质是，任何实数集都有下确界（实数的任何有界非空子集都在非扩展的实数轴中有下确界）。例子： formula_1 formula_2 formula_3 formula_4 如果一个集合有最小元素，如同第一个例子，则这个最小元素就是这个集合的下确界。如后三个例子展示的，一个集合的下确界不一定属于这个集合。下确界的概念和上确界在下列意义下是对偶的 formula_5，这里 formula_6。一般的说，为了证明 inf("S") ≥ "A"，只需要证明对于所有 "S" 中的 "x" 有 "x" ≥ "A"。证明 inf("S") ≤ "A" ，则需：对于任何 ε > 0，都存在 "S" 中的一个元素 "x" 使得 "x" ≤ "A" + ε（当然，如果 "S" 有一个元素 "x" 使 "x" ≤ "A"，命题立即成立）。参见：下极限。在偏序集合内的下确界. 下确界的定义容易推广到任何偏序集合的子集上，并在序理论中有重要意义。在序理论，特别是格理论中，最大下界也叫做交（)。形式的说，偏序集合（"P"，≤）的子集 "S" 的下确界是 "P" 的一个元素 "l" 使得如果这样的元素存在，则其必然唯一，但是它不一定存在。因此已知特定下确界存在的序就特别有价值。详情请参见。

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