凸共轭

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凸共轭

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在数学中，凸共轭（）是勒让德变换的一种推广；凸共轭也被称作勒让德-芬克尔变换（Legendre–Fenchel transformation），以阿德里安-马里·勒让德和威尔纳·芬克尔命名。定义. 函数formula_1在扩展的实数轴上取值。它的凸共轭定义为：formula_2 这里，formula_3表示实赋范向量空间，formula_4表示formula_3的对偶空间。映射formula_6表示一个二次型，满足：对于formula_4（formula_3）中任意非零元素formula_9，总能在formula_3（对应地，formula_4）中找到一个元素formula_12使得formula_13。例子. formula_15 formula_19 formula_20；它的凸共轭是： formula_21 性质. 逆序性. 如果formula_22，那么就有formula_23。这里的formula_22指，对定义域中所有元素formula_12，都有formula_26成立。半连续性与两次凸共轭. 函数formula_27的凸共轭总具有半连续性，因此函数formula_27的两次共轭formula_29也具有半连续性。同时，formula_29还是是闭凸包，也即最大的凸的半连续函数，满足formula_31。由Fenchel-Moreau定理可以知道，对于合适的函数formula_27， formula_33 当且仅当formula_27是半连续的凸函数。 Fenchel不等式. formula_35 ，这里formula_36，formula_37是formula_27的凸共轭。凸性. 凸共轭算子自身是凸的，即：取函数formula_39，formula_40间任意实数formula_41，有：formula_42 成立。最小值卷积. 对于两个函数"f"和"g"，它们的最小值卷积被定义为 formula_43 如果 "f"1, …, "f"m 都是R"n"上的proper且凸且半连续的函数。那么它们的最小值卷积是凸且半连续的（但不一定proper），并且满足关系 formula_44 两个函数的最小值卷积具有几何意义。两个函数的最小值卷积的超图是这两个函数的超图的闵可夫斯基和

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