E (数学常数)
E (数学常数)
formula_1，作为数学常数，是自然对数函数的底数，亦称自然常数、自然底数，或是欧拉数（--
），以瑞士数学家欧拉命名；还有个较少见的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔引进对数。它是一个无限不循环小数，数值约是（小数点后20位，）：
formula_2，近似值约为formula_3。
历史.
第一次提到常数formula_1，是约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德制作。第一次把formula_1看为常数的是雅各布·伯努利，他尝试计算下式的值：
formula_6
上式代表把1与无穷小相加，再自乘无穷多次。
已知的第一次用到常数formula_1，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以formula_8表示。1727年欧拉开始用formula_1来表示这常数；而formula_1第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》（--
）。虽然往后年日有研究者用字母formula_11表示，但formula_1较常用，终于成为标准。
用formula_1表示的原因确实不明，但可能因为formula_1是指数函数（--
）一字的首字母。另一看法则称formula_15有其他经常用途，而formula_1是第一个可用字母。
定义.
就像圆周率formula_17和虚数单位"i"，formula_1是数学中最重要的常数之一。它有几种等价定义，下面列出一部分。
这些定义可证明是等价的，请参见文章。
性质.
很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。指数函数formula_32的重要性在于，唯独该函数（或其常数倍，即formula_33，其中formula_34为任意常数）与自身导数相等。即：
formula_35。
formula_36的泰勒级数为formula_37
formula_38
formula_27为复数时依然成立，因此根据formula_40及formula_41的泰勒级数，得出在数学中一条称为欧拉公式的重要等式：
formula_42
当formula_43的特例是欧拉恒等式：
formula_44
此式被理查德·费曼称为「欧拉的宝石」。
formula_45
即棣莫弗公式。
）于1873年证明。有猜想它为正规数。
formula_50
就像以下的展开式：
formula_51
无理数证明.
反证法.
证明formula_1是无理数可以用反证法。假设formula_1是有理数，则可以表示成formula_54 ，其中formula_55为正整数。以formula_1的无穷级数展开式可以得出矛盾。
考虑数字
formula_57，
以下将推导出formula_27是小于1的正整数；由于不存在这样的正整数，得出矛盾，所以得证formula_1是无理数。
但是0与1之间（不含0与1）不存在有整数，故原先假设矛盾，得出formula_1为无理数。
二项式定理.
视formula_25为存在的数值，所以用二项式定理可证出：
formula_70
formula_71
formula_72
formula_73
formula_74
formula_75
formula_76
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