威尔逊定理
威尔逊定理
威尔逊定理是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的，尽管这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理，1771年由拉格朗日首次证明。
在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为质数的充分必要条件。即：当且仅当formula_1为质数时：
formula_2
证明.
充分性.
如果 formula_1 不是质数，那么它的正因数必然包含在整数 formula_4 中，因此 formula_5 ，所以不可能得到 formula_6。
必要性.
若formula_1是质数，取集合 formula_8，
则formula_9构成模formula_1乘法的缩系，即任意 formula_11，存在 formula_12，使得：
formula_13
这几乎说明formula_9中的元素恰好两两配对。仅有满足
formula_15
的元素formula_16是例外。
上式解得
formula_17
或
formula_18
其余两两配对，故而
formula_19
若formula_1不是质数且大于4，
则易知有formula_21
故而
formula_22
推论.
可以借此推论formula_23如下：
formula_24
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