态叠加原理
态叠加原理
在量子力学里，态叠加原理（superposition principle）表明，假若一个量子系统的量子态可以是几种不同量子态中的任意一种，则它们的归一化线性组合也可以是其量子态。称这线性组合为「叠加态」。假设组成叠加态的几种量子态相互正交，则这量子系统处于其中任意量子态的机率是对应权值的绝对值平方。:316ff
从数学表述，态叠加原理是薛丁格方程式的解所具有的性质。由于薛丁格方程式是个线性方程式，任意几个解的线性组合也是解。这些形成线性组合（称为「叠加态」）的解时常会被设定为相互正交（称为「基底态」），例如氢原子的电子能级态；换句话说，这几个基底态彼此之间不会出现重叠。这样，对于叠加态测量任意可观察量所得到的期望值，是对于每一个基底态测量同样可观察量所得到的期望值，乘以叠加态处于对应基底态的机率之后，所有乘积的总和。
更具体地说明，假设对于某量子系统测量可观察量formula_1，而可观察量formula_1的本征态formula_3、formula_4分别拥有本征值formula_5、formula_6，则根据薛定谔方程的线性关系，叠加态formula_7也可以是这量子系统的量子态；其中，formula_8、formula_9分别为叠加态处于本征态formula_3、formula_4的机率幅。假设对这叠加态系统测量可观察量formula_1，则测量获得数值是formula_13或formula_14的机率分别为formula_15、formula_16，期望值为formula_17。
举一个可直接观察到量子叠加的实例，在双缝实验里，可以观察到通过两条狭缝的光子相互干涉，造成了显示于侦测屏障的明亮条纹和黑暗条纹，这就是双缝实验著名的干涉图样。
再举一个案例，在量子运算里，量子位元是的两个基底态formula_18与formula_19的线性叠加。这两个基底态formula_18、formula_19的本征值分别为formula_22、formula_23。
理论.
在数学里，叠加原理表明，线性方程式的任意几个解所组成的线性组合也是这方程式的解。由于薛丁格方程式是线性方程式，叠加原理也适用于量子力学，在量子力学里称为态叠加原理。假设某量子系统的量子态可以是 formula_24或formula_25 ，这些量子态都满足描述这量子系统物理行为的薛丁格方程式。则这量子系的量子态也可以是它们的线性组合formula_26，也满足同样的薛丁格方程式；其中，formula_8、formula_9是复值系数，为了归一化formula_29，必须让formula_30。
假设formula_31为实数，则虽然formula_32与formula_25标记同样的量子态，他们并无法相互替换。例如，formula_34、formula_35分别标记两种不同的量子态。但是，formula_34和formula_37都标记同一个量子态。因此可以这样说，整体的相位因子并不具有物理意义，但相对的相位因子具有重要的物理意义。这种相位因子固定不变的量子叠加称为「相干量子叠加」。:317
电子自旋范例.
设想自旋为formula_38的电子，它拥有两种相互正交的自旋本征态，上旋态formula_39与下旋态formula_40，它们的量子叠加可以用来表示量子位元：
formula_41；
其中，formula_42、formula_43分别是复值系数，为了归一化formula_44，必须让formula_45。
这是最一般的量子态。系数formula_42、formula_43分别给定电子处于上旋态或下旋态的机率：
formula_48、
formula_49。
总机率应该等于1：
formula_50。
这电子也可能处于这两个量子态的叠加态：
formula_51。
电子处于上旋态或下旋态的机率分别为
formula_52、
formula_53。
再次注意到总机率应该等于1：
formula_54。
非相对论性自由粒子案例.
描述一个非相对论性自由粒子的含时薛丁格方程式为:331-336
formula_55；
其中，formula_56是约化普朗克常数，formula_57是粒子的波函数，formula_58是粒子的位置，formula_59是时间。
这薛丁格方程式有一个平面波解：
formula_60；
其中，formula_61是波向量，formula_62是角频率。
代入薛丁格方程，这两个变数必须遵守关系式
formula_63。
由于粒子存在的机率等于1，波函数formula_57必须归一化，才能够表达出正确的物理意义。对于一般的自由粒子而言，这不是问题。因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数可以表示为很多平面波的量子叠加：
formula_65；
其中，积分区域formula_66是formula_61-空间。
为了方便计算，只思考一维空间，
formula_68；
其中，振幅formula_69是量子叠加的系数函数。
逆反过来，系数函数表示为
formula_70；
其中，formula_71是在时间formula_72的波函数。
所以，知道在时间formula_72的波函数formula_71，通过傅立叶变换，可以推导出在任何时间的波函数formula_75。
参考文献.
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