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对数求和不等式

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对数求和不等式（Log sum inequality）是一个不等式，可用于证明信息论中的多个定理。定理陈述. 对任何非负实数 formula_1 和正数 formula_2 ，并记 formula_3 及 formula_4 则有如下的对数求和不等式： formula_5 上式中，等号成立的充分必要条件是所有 formula_6 都相等。证明. 设辅助函数 formula_7 ，容易验证这个函数是一个凸（Convex）函数，我们有 formula_8 推导中第二行的不等号，是由琴生不等式得到的（可验证 formula_9 ， formula_10）。应用. 对数求和不等式可用于证明信息论中的几个不等式，例如吉布斯不等式或KL散度的基本性质。例如，证明吉布斯不等式时，将 formula_11看作 formula_12 ，将 formula_13 看作 formula_14，得到 formula_15 一般情形. 这个不等式对于收敛的无穷级数亦成立，即当 formula_16 时，附加假设 formula_17 和 formula_18 即可使不等式成立。另一种推广则是将对数函数一般化。只要将对数函数换为任何一个formula_19，其使得formula_20 是一个凸（Convex）函数即可。2004年，Csiszár证明了将对数函数换成一个单调非减函数，定理亦成立。

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