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总变差去噪

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总变差去噪（英语：Total Variation Denoising）是讯号处理中一种常见的降噪方法，于1992年由L. I. Rudin、和E. Fatemi提出，因此亦称为ROF模型。一个含有杂讯的讯号相较于其未受杂讯影响的讯号，会有较大的总变差值，即其梯度绝对值的总和较大。因此若能找到一个与原始讯号相似且总变差较小的讯号，即可作为原始讯号的降噪结果。此算法可以在去除杂讯的同时保留边缘，即使在低讯号杂讯比的情况下，依然能有效的去噪和保留边缘。总变差. 总变差为一函数其数值变化的总和。可表示为其微分后取绝对值再积分的结果。一维连续函数. 若一函数formula_1为一维连续可微函数，其在区间formula_2之总变差定义为 formula_3, 其中formula_4为formula_5的一次微分。当formula_5不可微分时，其总变差由一般性的定义给出: formula_7, 其中formula_8为区间formula_9中所有可能的分割，即formula_10。一维离散函数. 若一函数formula_1为一维离散函数，则其总变差定义为 formula_12. 即差分后取绝对值再加总的结果。一维讯号去噪. 设输入的观察讯号为formula_13，对formula_13去噪得到的讯号为formula_15。我们可以透过解最佳化问题来从formula_13得到formula_15。当以总变差去噪法对讯号进行去噪时，最佳化问题应满足以下两个条件: 在数学上，两个讯号的相似度可以以两者差的formula_21-范数表示，即 formula_22, 其中formula_23即为formula_21-范数，而formula_25为讯号的取样点。借由上述数学表达式，总变差去噪法的最佳化问题可以写成 formula_26. 即利用最小平方法，并以总方差作为正规化的正规项，以求得去噪结果。其中formula_27为正规化参数，用于调整正规项的重要程度。由于formula_28和formula_29皆为凸函数，因此一维总变差去噪的最佳化为一凸优化问题，有许多凸优化演算法可以求解，且其解必为全局最佳值。影像去噪. 影像为二维离散讯号，在ROF模型中定义的总变差为 formula_30, 其中formula_31为处理图片，formula_32与formula_33为两个运算子，分别代表将图片水平移动formula_34个像素与垂直移动formula_35个像素。formula_27为权重，随著平移距离递减。当formula_37和formula_38时，图片的每一个像素与相邻之下一个像素相减，此时的双边总变差与总变差相同。当formula_39为其它值时，可以当成是计算斜线方向以及将图片降采样后的总变差值。如此达到更好的正规化效果。根据S.Farisu的实验结果，双边总变差相对于总变差，边界模糊的情况较少，能够更好的保留原图片边界。

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