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特征裂隙

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在矩阵论中，特征裂隙（eigen gap）指的是一组相邻的特征值（或奇异值）所构成的集合，与其它特征值（或奇异值）之间的豪斯多夫距离。特征裂隙的概念，一般只在矩阵的全部特征值（或奇异值）都是实数之语境下提出和研讨。定义. 假设矩阵 formula_1 的特征值（或奇异值）都是实数，从大到小排序如下： formula_2，对任意给定的 formula_3，考虑第 formula_4 至第 formula_5 个特征值（或奇异值）构成的集合 formula_6，那么该集合 formula_7 的特征裂隙定义为： formula_8 其中为方便，不妨设 formula_9. 重要性. 特征裂隙是对矩阵的线性子空间进行误差分析的基础。特征裂隙较大的 formula_7，其对应的特征向量所张成的线性子空间，在矩阵元素被误差项（往往是随机误差）所污染时，具有较好的稳定性。反之，若特征裂隙为0，则由线性代数知， formula_7 对应的特征向量所张成的线性子空间不是唯一的。特征裂隙较小的 formula_7 不具有抗拒随机误差的稳定性。在机器学习中，对谱聚类算法的理论性质进行研究时，建立足够的特征裂隙一般来说属于理论分析的核心部分。需要注意的是，如果目标是估计矩阵的线性子空间，那么特征裂隙具有核心的重要地位。但如果目标是为矩阵本身降噪，那么特征裂隙是不重要的，流行的矩阵估计方法也并不需要任何特征裂隙条件。

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