忙碌的海狸
在计算机科学中，忙碌的海狸（--
）是一个在给定参数后，寻找可能产生的最大输出的可终止程序。忙碌的海狸游戏包括设计一个可终止的，只输出0或1的图灵机，让其在一条纸带上尽可能多的输出1.
包含两个状态的忙碌的海狸游戏有下面两条规则：
玩家需要设计出可能输出最多1的状态转换表格，同时也要确保图灵机是会终止的。
能赢得n个状态的忙碌的海狸游戏的图灵机，称为第n个忙碌的海狸，或者用BB-n表示(BB是英文忙碌的海狸的缩写)。BB-n，是在所有n个状态的图灵机里面，可以输出最多的1的。比如BB-2，可能通过6次状态转换输出4个1。
忙碌的海狸游戏是由匈牙利的数学家Tibor Radó在1962年发表的论文《On Non-Computable Functions》中提出的。
无限旅馆的机器人.
假设有一排无限房间的旅馆，每个房间里面都装了一盏灯和一个开关。最初，所有房间的灯都是关的（状态0）。一个机器人管家从其中某一个房间开始工作。进入房间后，它的行为只能是选择开灯或关灯，然后移到相邻的左边或者右边房间去。
这个机器人可以处于若干个预先设定的状态中。在不同的状态下，它会根据房间灯的开关情况，选择不同的行为和下一步的状态。
# 如果房间灯是关的，开灯，移动到左边的房间并转换到“停止”态
# 如果房间灯是开的，关灯，移动到左边的房间并转换到“停止”态
一个状态的机器人.
游戏开始后，这个“工作”态机器人进入某个房间后，开一盏灯，然后移到左边的房间并转换到“停止”态，游戏结束。我们可以验证，无论你如何设计机器人的行为(64种可能)，在只有一种状态的约束下，机器人最多只能打开一盏灯，所以formula_1。
# 如果房间灯是关的，开灯并移动到左边的房间去
# 如果房间灯是开的，恢复到“正常”态
# 如果房间灯是开的，关灯并移动到左边的房间去
# 其余情况，转变到“惊恐”态
两个状态的机器人.
对于以上两种状态的机器人，如果它初始态是“惊恐”，从它进入某一个房间开放，它便会打开房间的灯然后移到左边的房间。然后继续开灯，向左移，无限循环下去。这样的状态设定是不符合忙碌的海狸必须可以终止的条件。同理，如果它的初始态是“正常”，它也会无限向左移，并不属于忙碌的海狸。
下面我们看另外一种两个状态的机器人。
# 如果房间灯是关的，开灯，移动到右边的房间，并转变到“2”态
# 如果房间灯是开的，保持，移动到左边的房间，并转变到“2”态
# 如果房间灯是关的，开灯，移动到左边的房间，并转变到“1”态
# 如果房间灯是开的，保持，移动到左边的房间，并转变到“H”态
这样的状态“1”机器人，从某个房间开始，可以进行6次移动，最终打开四盏灯（左边2个房间，开始的房间，和右边的一个房间），回到最左边的房间并停止游戏。2个状态的机器人，全部有formula_2种行为设计，其实最多开灯的设计是4盏，所以formula_3。
3个状态的机器人，可以通过14次移动，最多打开6盏灯formula_4。
4个状态的机器人，可以通过107次移动，最多打开13盏灯，formula_5。
4个更多状态的机器人，目前还不能计算出忙碌的海狸的函数值，比如目前我们猜测formula_6，但还不能确认。
相关的函数.
忙碌的海狸函数.
忙碌的海狸函数，又称为BB函数，或者Radó Sigma函数，记做formula_7或者BB(n),是n个状态的忙碌的海狸图灵机的最大输出。这一个增长特别快的函数，是一个非常著名的不可计算函数。Radó证明了这个函数最终会超过全部的可计算函数。
formula_7还可以定义为集合formula_9中最大的数，这个集合包括了n个状态的2色图灵机全部的输出。集合formula_10的大小不超过formula_11（这是n个状态的全部图灵机数量）。
更普遍的，formula_12表示n个状态，m个颜色的忙碌的海狸图灵机。
例子.
在下面的表格中，列代表了当前的状态，行代表了当前从纸带读取的标记。表格中的每一项有三个字母，分别表示向纸带写的标记，移动的方向和下一步的新的状态。终止态用H代表。
每个图灵机都从状态A开始，纸带无限长且初始值都是0。
结果指示: (启始位置 1, 结束位置 1)
结果: 0 0 1 0 0 (1 步, 一个 "1" )
结果: 0 0 1 1 1 0 0 (6 步, 四个 "1")
结果: 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 (14 步, 六个 "1").
结果: 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 (107 步, 十三个 "1",见图)
结果: 4098 个"1"中间隔 8191 个"0"。 47,176,870 步。
结果: 1 0 1 1 1 ... 1 1 1 ("10" 后面接着超过10↑↑15个"1")。超过10↑↑15 步。其中10↑↑15=1010..10是以10为底数的15层迭代幂次。
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