交运算
交运算
在数学中，在一个集合上的交(meet)有两种定义：关于在这个集合上的偏序的唯一下确界(最大下界)，假定下确界存在的话； 或者是满足幂等律的交换结合二元运算。在任何一个情况下，这个集合与交运算一起是半格。这两个定义产生等价的结果，除了在偏序方式中有可能直接定义更一般的元素的集合的交。最常见到交运算的领域是格。
通常把 formula_1 和 formula_2 的交指示为 formula_3。
偏序定义.
设 "A" 是带有偏序 formula_4 的一个集合，并设 formula_1 和 formula_2 是 "A" 中的两个元素。"A" 的一个元素 formula_7 是 formula_1 和 formula_2 的交(或最大下界或下确界)，如果满足了下列两个条件:
1. formula_10 且 formula_11 (就是说，formula_7 是 formula_1 和 formula_2 的下界)；
2. 对于 "A" 中的任何 formula_15，使得 formula_16 且 formula_17，有着 formula_18 (就是说，formula_7 大于任何其他 formula_1 和 formula_2 的下界)。
如果有 formula_1 和 formula_2 的交，则它的确是唯一的，因为如果 formula_7 和 formula_25 都是 formula_1 和 formula_2 的最大下界，则 formula_28，因而 formula_29。如果交确实存在，它被指示为 formula_3。在 "A" 中的某对元素可能缺乏一个交，要么因为它们根本没有下界，要么因为它们的下界中没有一个大于所有其他的。如果所有的元素对都有交，则交实际上是在 "A" 上的二元运算，并且容易看出这个运算满足下列三个条件: 对有 "A" 中任何元素 formula_1, formula_2 和 formula_7
a. formula_34 (交换律)，
b. formula_35 (结合律)，
c. formula_36 (幂等律)。
泛代数定义.
通过定义，在集合 "A"上的 二元运算 formula_37 是交，如果它满足上面的三个条件 a, b 和 c。有序对 ("A",formula_37) 就是交半格。此外，我们可以定义在 "A" 上二元关系 formula_4，通过声称 formula_40 当且仅当 formula_41。实际上，这个关系是在 "A" 上的偏序。对于 "A" 中任何元素 formula_1, formula_2 和 formula_7 有
formula_45，因为 formula_36，通过公理 c；
如果 formula_40 且 formula_48 则 formula_49，通过公理 a；
如果 formula_40 且 formula_51 则 formula_52，因为 formula_53，通过公理 b 。
两个定义的等价性.
如果 ("A",formula_4) 是偏序集合，使得对于每对 "A" 中的元素都有交，则确实有 formula_41 当且仅当 formula_40，因为在后者情况下 formula_1 确实是 formula_1 和 formula_2 的下界，并且明显的 formula_1 是最大下界当且仅当它是下界。所以用泛代数方式的交定义的偏序一致于最初的偏序。
反过来，如果 ("A",formula_37) 是交半格，并且偏序 formula_4 按泛代数方式定义，对于"A" 中某些元素 formula_1 和 formula_2 有 formula_65，则 formula_7 是 formula_1 和 formula_2 关于 formula_4 的最大下界，因为 formula_70，类似的 formula_11，并且如果 formula_15 是 formula_1 和 formula_2 的另一个下界，则 formula_75，从而 formula_76。所以这个用最初的交定义的偏序定义的交一致于最初的交。
换句话说，两种方式生成本质上等价的概念，集合配备了二元关系和二元运算二者，使得每个结构都由另一个确定，而且分别满足偏序或交的条件。
一般子集的交.
如果 ("A",formula_37) 是交半格，则交可以被扩为任何非空有限集合的良好定义的交，通过在迭代二元运算中描述的描述的技术。可供选择的，如果交定义或定义自一个偏序，"A" 的某个子集确实有关于它的下确界。对于非空有限子集，这两种方式产生同样的结果，因为都可以做为交的定义。在 "A" 的每个子集都有交的情况下，("A",formula_4) 是完全格；详情参见完全性 (序理论)。
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