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佩多不等式

佩多不等式几何学的佩多不等式，是关连两个三角形的不等式，以唐·佩多(Don Pedoe)命名。这不等式指出：如果第一个三角形的边长为formula_1，面积为formula_2，第二个三角形的边长为formula_3，面积为formula_4，那么： formula_5，等式成立当且仅当两个三角形为一对相似三角形，对应边成比例；也就是formula_6。 formula_7 formula_8 证明. 再由柯西不等式， formula_9 formula_10 formula_11 于是， formula_12 formula_13 命题得证。等号成立当且仅当formula_14，也就是说两个三角形相似。三角形的面积与边长的平方成正比，因此在要证的式子两边同乘一个系数formula_15，使得formula_16，几何意义是将第二个三角形取相似（如右图）。设这时A、B、C变成x、y、z，F变成F'。考虑" AA' "的长度。由余弦公式， formula_17 formula_18 将formula_19,formula_20 代入就变成： formula_21 两边化简后同时乘以formula_22，并注意到a=x，就可得到原不等式。等号成立当且仅当A与A'重合，即两个三角形相似。

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