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等价类

等价类在数学中，假设在一个集合formula_1上定义一个等价关系（用formula_2来表示），则formula_1中的某个元素formula_4的等价类就是在formula_1中等价于formula_4的所有元素所形成的子集: formula_7。等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造新集合。在formula_1中的给定等价关系formula_2的所有等价类的集合表示为formula_10并叫做formula_1除以formula_12的商集。这种运算可以（实际上非常不正式的）被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是，如果formula_1是有限的并且等价类都是等势的，则formula_10的序是formula_1的序除以一个等价类的序的商。商集被认为是带有所有等价点都识别出来的集合formula_1。对于任何等价关系，都有从formula_1到formula_10的一个规范投影映射formula_19，给出为formula_20。这个映射总是满射的。在formula_1有某种额外结构的情况下，考虑保持这个结构的等价关系，接着称这个结构是良好定义的，而商集在自然方式下继承了这个结构而成为同一个范畴的对象；从formula_4到formula_23的映射则是在这个范畴内的满态射。参见同余关系。 formula_38当且仅当formula_39。这里的有序对 formula_36的等价类可以被认同于有理数formula_41。性质. 因为等价关系的formula_4在formula_23中和任何两个等价类要么相等要么不相交的性质。得出X的所有等价类的集合形成formula_1的划分：所有formula_1的元素属于一且唯一的等价类。反过来，formula_1的所有划分也定义了在formula_1上等价关系。它还得出等价关系的性质 formula_67当且仅当formula_68。如果formula_12是在formula_1上的等价关系，而formula_71是formula_45的元素的一个性质，使得只要formula_73为真如果formula_74为真，则性质formula_75被称为良好定义的或在关系formula_12下“类恒定”的。常见特殊情况出现在formula_50是从formula_1到另一个集合formula_79的时候；如果formula_43蕴涵formula_44则formula_50被称为在formula_12下恒定的类，或简单称为在formula_12下恒定。这出现在有限群的特征理论中。对函数formula_50的后者情况可以被表达为交换三角关系．参见不变量。

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