极限点

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极限点

极限点（）在数学中是指可以被集合"S"中的点随意逼近的点。这个概念有益的推广了极限的概念，并且是诸如闭集和拓扑闭包等概念的基础。实际上，一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点，而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。定义. "formula_1" 为拓扑空间 formula_2 （其拓扑为 formula_3 ）的子集且 "formula_4" ，若所有 "formula_5" 的开集也包含至少一个 "formula_1" 内的非"x"的点，即 formula_7 称 "formula_5" 为 "formula_1" 的极限点（注意到 "formula_5" 不一定属于 "formula_1" ）。由 "formula_1" 内所有极限点所组成的集合称为 "formula_1" 的导集，标记为formula_14。在T1空间里，上述定义和要求 "formula_5" 的每个邻域皆包含无限多个 "formula_1" 的点是等价的。另外，若"X"为序列空间，则可称"x" ∈ "X"为"S"的极限点，若且唯若存在一个由"S" \ {"x"}的点组成的ω序列，其极限为"x"；这也是「极限点」此一名称的由来。特殊类型的极限点. 如果包含"x"的所有开集都包含无限多个"S"的点，则"x"是特殊类型极限点，称为"S"的-- ‐会聚点（-- 如果包含formula_5的所有开集都包含不可数多个formula_18的点，则formula_5是特殊类型的极限点，称为formula_18的缩合点（-- ===-- ‐会聚点=== 在度量空间中，-- ‐会聚点与普通的极限点定义等价。在拓扑空间中，两者概念不再等价。对于非强拓扑空间，一个所有-- ‐会聚点都属于本身的集合不一定是闭集，但一个所有极限点都属于本身（导集包含于自身）的集合必为闭集。度量空间的聚集点. 在带有度量函数 "formula_21" 的度量空间 "formula_2" 且有 "formula_23" 和 "formula_4" ，若对所有 "formula_25"，存在 "formula_26" 值使得 "formula_27" ，也就是 formula_28 这样称 "formula_5" 是 "formula_1" 的聚集点（cluster point）或会聚点（accumulation point）。直观上意为， "formula_5" 可以被 "formula_1" 里的点（以度量 "formula_21" 的意义上）无限制地逼近。应用上， "formula_34" 为定义域的聚集点也是函数极限能在 "formula_34" 上有定义的前提条件。

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