凸函数

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凸函数（英文：Convex function）是指函数图形上，任意两点连成的线段，皆位于图形的上方的实值函数，如单变数的二次函数和指数函数。二阶可导的一元函数formula_1为凸，当且仅当其定义域为凸集，且函数的二阶导数formula_2在整个定义域上非负。直观理解，凸函数的图像形如开口向上的杯formula_3，而相反，凹函数则形如开口向下的帽formula_4。在最优化研究中，凸函数的最小化问题有唯一性，即凸开集上的严格凸函数，至多只有一个极小值。概率论中，凸函数formula_1作用在某随机变量期望值formula_6所得的结果，总不大于对随机变量先取函数值再取期望，即 formula_7 称为延森不等式。该不等式可以推导出均值不等式及赫尔德不等式等结果。定义. formula_8为某实向量空间的凸子集，若实值函数formula_9 对任意 formula_10及任意formula_11，皆有 formula_12 则 formula_1 称为凸函数。若 formula_14 ，然后在 formula_1 图像上任取两点formula_16和formula_17 连线，则连线上某点 formula_18 的 formula_19 座标可以想成从 formula_20 出发，前进了 formula_21 这整段的一部分而已，也就是说 formula_22 循著同样的比例 formula_23 ， formula_18 的 formula_25 座标就可以写成 formula_26 但同样的 formula_19 座标下，对应的 formula_1 函数值就是 formula_29 所以，凸函数的定义意为，formula_1 的图像上，任意相异两点的连线不能低于中间formula_1 的曲线。换言之，函数的（图像上方的点的集合）为凸集。严格凸函数. 若将定义的formula_32号换成formula_33，则得到严格凸的定义： formula_1称为严格凸，意思是对formula_35和任意不相等的formula_11，皆有 formula_37 若 formula_14 ，在严格凸函数formula_1的图像曲线上，任意两相异点的连线，除端点外皆高于曲线。几乎凸函数. 若 formula_14，实值函数formula_9 对于任意三实数 formula_42 ，都有formula_43，则称 formula_1 是几乎凸的。性质. 凸函数的某些性质，多元情况的敍述与一元情况同样简单。此种性质，可能仅于多元情况列举，恕不在一元情况赘述。一元情况. 重定向;重新导向;字符;字元;文件; 档案;快捷方式; 捷径;项目;专案;计划;计划;计划;计算机; 电脑; 电脑;，即关于formula_48。formula_1为凸，当且仅当对每个固定的formula_50，皆有formula_51关于formula_20单调不减（或由对称性，可将此句中formula_53互换）。此刻划有助证明以下的结果。多元情况. 更一般地，多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是半正定的。凸函数的任何极小值也是最小值。严格凸函数最多有一个最小值。对于凸函数"f"，水平子集{"x" | "f"("x") < "a"}和{"x" | "f"("x") ≤ "a"}（"a" ∈ R）是凸集。然而，水平子集是凸集的函数不一定是凸函数；这样的函数称为"拟凸函数"。延森不等式对于每一个凸函数"f"都成立。如果formula_84是一个随机变量，在"f"的定义域内取值，那么formula_7（在这里，formula_86表示数学期望。）

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