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伯努利数

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数学上，白努利数 "B""n" 是一个与数论有密切关联的有理数序列。前几项被发现的白努利数分别为： "B"0 = 1, "B" = ±, "B"2 =, "B"3 = 0, "B"4 = −, "B"5 = 0, "B"6 =, "B"7 = 0, "B"8 = −. 上标 ± 在本文中用来区别两种不同的白努利数定义，而这两种定义只有在"n" = 1 时有所不同：由于对于所有大于1的奇数 "n"白努利数 "B""n" = 0 ，且许多公式中仅使用偶数项的白努利数，一些作者可能会用""B""n""来代表 "B"2"n"，不过在本文中不会使用如此的简写。等幂求和. 伯努利数"B""n"是等幂求和的解析解中最为明显的特征，定义等幂和如下，其中"m", "n" ≥ 0： formula_1 这数列和的公式必定是变数为"n"，次数为"m" +1次的多项式，称为伯努利多项式。伯努利多项式的系数与伯努利数有密切关系如下： formula_2 其中() 为二项式系数。举例说，把"m"取为1，我们有formula_3 伯努利数最先由雅各布·伯努利研究，棣莫弗以他来命名。伯努利数可以由下列递归公式计算： formula_4，初值条件为"B"0 = 1，"B"1 = 1/2。或者：formula_5，初值条件为"B"0 = 1，"B"1 = -1/2。伯努利数也可以用母函数技巧定义。它们的指数母函数是"x"/（"ex" − 1），使得对所有绝对值小于2π的"x"（幂级数的收敛半径），有 formula_6。有时会写成小写"bn"，以便与贝尔数分别开。最初21项伯努利数记于OEIS中的数列和。可以证明对所有不是1的奇数"n"有"B""n" = 0。数列中乍看起来突兀的"B"12 = −691/2730，喻示伯努利数不能以初等方式描述；其实它们是黎曼ζ函数于负整数的值，有深邃的数论性质联系，所以不能预期有简单的计算公式。伯努利数出现在正切和双曲正切函数的泰勒级数展开式、欧拉-麦克劳林公式，及黎曼ζ函数的一些值的表达式。在1842年的爱达·勒芙蕾丝的分析机笔记的笔记G，第一次记述了一个让电脑产生伯努利数的算法。一些等式. 欧拉以黎曼ζ函数表达伯努利数为： formula_7。在[−1, 0]区间上的连续均匀概率分布的"n"阶累积量是"B""n"/"n"。伯努利数的算术性质. 伯努利数可以用黎曼ζ函数表达为"B""n" = − "n"ζ（1 − "n"），也就说明它们本质上是这函数在负整数的值。因此，可推测它们有深刻的算术性质，事实也的确如此，这是库默尔（Kummer）研究费马大定理时发现的。伯努利数的可整除性是与分圆域的理想类群有关。这关系由库默尔的一道定理和更强的埃尔贝朗-里贝定理（Herbrand-Ribet）描述。而这性质与实二次域的关系由安克尼-阿廷-乔拉猜想（Ankeny-Artin-Chowla）给出。伯努利数还和代数K理论有关：若"c""n"是"B""n"/2"n"的分子，那样formula_8的阶是−"c"2"n"若"n"为偶数；2"c"2"n"若"n"为奇数。与整除性也有关连的是冯·施陶特-克劳森定理（von Staudt-Clausen）。这定理是说，凡是适合"p" − 1整除"n"的质数"p"，把1/"p"加到"B""n"上，我们会得到一个整数。这个事实给出了非零伯努利数"B""n"的分母的特征：这些分母是适合"p" − 1整除"n"的所有质数"p"的乘积；故此它们都无平方因子，也都可以被6整除。吾乡-朱加猜想猜测"p"是质数当且仅当"pB""p"−1模"p"同余于−1。 "p"进连续性. 伯努利数的一个特别重要的同余性质，可以表述为"p"进连续性。若"b"，"m"和"n"是正整数，使得"m"和"n"不能被"p" − 1整除，及formula_9，那么 formula_10。因为formula_11，这也可以写成 formula_12，其中"u" = 1 − "m"和"v" = 1 − "n"，使得"u"和"v"非正，及不是模"p" − 1同余于1。这告诉我们，黎曼ζ函数的欧拉乘积公式中去掉formula_13后，对适合模"p" − 1同余于某个formula_14的负奇数上的"p"进数连续，因此可以延伸到所有"p"进整数formula_15，得出"p"进ζ函数。伯努利数的几何性质. 在formula_16时给出可平行流形边界的怪（4"n"−1）球，对于它们的微分同胚类的循环群的阶，有凯尔韦尔-米尔诺公式（Kervaire-Milnor），用到了伯努利数。若"B"是"B"4"n"/"n"的分子，那么这种怪球的数目是formula_17。（拓扑学文章中的公式与这里不同，因为拓扑学家为伯努利数编号的习惯不同。本文跟随数论家的编号习惯。）

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