赫尔德不等式

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赫尔德不等式

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赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自德国数学家奥托·赫尔德。这是一条揭示L"p"空间的相互关系的基本不等式：设formula_1为测度空间，formula_2，及formula_3，设formula_4在formula_5内，formula_6在formula_7内。则formula_8在formula_9内，且有 formula_10 等号当且仅当formula_11与formula_12（几乎处处）线性相关时取得，即有常数formula_13使得formula_14对几乎所有formula_15成立。若formula_1取作formula_17附计数测度，便得赫尔德不等式的特殊情形：对所有实数（或复数）formula_18，有 formula_19。我们称"p"和"q"互为赫尔德共轭。若取formula_1为自然数集附计数测度，便得与上类似的无穷级数不等式。当formula_21，便得到柯西-施瓦茨不等式。赫尔德不等式可以证明formula_22空间上一般化的三角不等式，闵可夫斯基不等式，和证明formula_22空间是formula_24空间的对偶。 formula_25 以及 formula_26 证明. 赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。如果||"f" ||"p" = 0，那么"f" "μ"-几乎处处为零，且乘积"fg" "μ"-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||"g"||"q" = 0也是这样。因此，我们可以假设||"f" ||"p" > 0且||"g"||"q" > 0。如果||"f" ||"p" = ∞或||"g"||"q" = ∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||"f" ||"p"和||"g"||"q"位于(0,∞)内。如果"p" = ∞且"q" = 1，那么几乎处处有|"fg"| ≤ ||"f" ||∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于"p" = 1和"q" = ∞，情况也类似。因此，我们还可以假设"p", "q" ∈ (1,∞)。分别用"f"和"g"除||"f" ||"p"||"g"||"q"，我们可以假设： formula_27 我们现在使用杨氏不等式： formula_28 对于所有非负的"a"和"b"，当且仅当"ap" = "bq"时等式成立。因此： formula_29 两边积分，得： formula_30 这便证明了赫尔德不等式。在"p" ∈ (1,∞)和||"f" ||"p" = ||"g"||"q" = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|"f" |p = |"g"|q。更一般地，如果||"f" ||"p"和||"g"||"q"位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在"α", "β" > 0（即"α" = ||"g"||"q"且"β" = ||"f" ||"p"），使得： formula_31 "μ"-几乎处处 (*) 反向赫尔德不等式. 当formula_32不再满足三角不等式，此时成立反向赫尔德不等式(Reverse Hölder inequality): formula_33

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