柯西-施瓦茨不等式

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柯西-施瓦茨不等式

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柯西-施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，在多个数学领域中均有应用的不等式；例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广，如赫尔德不等式。不等式以奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。叙述. formula_1 是个复内积空间，则对所有的 formula_2 有： (a) formula_3 (b) formula_4 formula_5 存在 formula_6 使 formula_7 证明请见内积空间#范数。特例. Rn-n维欧几里得空间. 对欧几里得空间R"n"，有 formula_8。等式成立时： formula_9 也可以表示成 formula_10 证明则须考虑一个关于formula_11的一个一元二次方程式 formula_12 很明显的，此方程式无实数解或有重根，故其判别式formula_13 注意到 formula_14 ⇒formula_15 则 formula_16 即 formula_10 formula_12 formula_10 而等号成立于判别式formula_20时也就是此时方程式有重根，故 formula_9 formula_22。这两例可更一般化为赫尔德不等式。 formula_23。这是 formula_24 在"n"=3 时的特殊情况。 L2. 对于平方可积复值函数的内积空间，有如下不等式： formula_25 赫尔德不等式是该式的推广。矩阵不等式. 设formula_26为列向量，则formula_27 formula_28 时不等式成立，设formula_29非零，formula_30，则formula_31 formula_32 formula_33 等号成立formula_34与formula_29线性相关设formula_36为formula_37Hermite阵，且formula_38，则formula_39 存在formula_40，设formula_41 formula_42 formula_43 formula_39 等号成立formula_45与formula_29线性相关设formula_36为formula_37Hermite阵，且formula_49，则formula_50 存在formula_51，设formula_52 formula_42 formula_54 formula_50 等号成立formula_56与formula_57线性相关若formula_58，则formula_59 复变函数中的柯西不等式. 设 formula_60在区域formula_61及其边界上解析，formula_62 为formula_61内一点，以formula_62为圆心做圆周 formula_65，只要formula_66及其内部formula_67均被formula_61包含，则有： formula_69 其中，M是formula_70的最大值，formula_71 其它推广. formula_72 formula_73

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