上极限和下极限

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上极限和下极限

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在微积分学中，上极限和下极限（）是指数列极限的上极限和下极限，可以大致想像为数列极限的上下界。举例来说，数列 formula_1 的上极限为 1，下极限为 -1。函数的上极限和下极限可以用类似方式考虑。。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点的上确界和下确界。定义. 序列formula_2的上极限定义是 formula_3；或者 formula_4。同样的，序列formula_5的下极限定义是 formula_6；或者 formula_7。这些定义在任意的偏序集都适用，只需要上确界和下确界存在。在完全格里，上确界和下确界总是存在，所以其中的序列一定有上极限和下极限。每当formula_8和formula_9都存在，那么 formula_10。上极限和下极限也记为formula_11和formula_12。实数数列. 实数集 R 的数列对微积分很重要。R 不是完备格，但可以加入正负无穷以得到完备全序集 formula_13，形成完备格。那么在 formula_13 中数列 formula_2 收敛当且仅当 formula_16，而这时 formula_17 等于上面的共同值。若实数数列 formula_2 的上极限为实数，那么上极限是最小的实数 "a"，使得对任意小的正实数 formula_19，都存在足够大的正整数 "N"，使得对所有 formula_20，都有 formula_21。换言之，对任何大于上极限的实数，都存在 "N" 使得这实数是数列 formula_22 的上界。若实数数列 formula_2 的下极限为实数，那么下极限是最大的实数 "b"，使得对任意小的正实数 formula_19，都存在足够大的正整数 "N"，使得对所有 formula_20，都有 formula_26。换言之，对任何小于下极限的实数，都存在 "N" 使得这实数是数列 formula_22的下界。设 formula_2 是整数数列。若其上极限为实数 "a"，由于 formula_29 也符合上述条件，故此 "a" 必是整数。在条件中取 formula_30，得出 "a" 是最小的实数，使得存在正整数 "N"，对所有 formula_20，都有 formula_32。因此 "a" 是最大的整数，使得有无限个 formula_33。同样地，若其下极限为实数 "b"，则 "b" 是最小的整数，使得有无限个 formula_34。若 formula_35 和 formula_36 ，那么区间 formula_37 不一定包含任何的 formula_5，但是轻微扩大了的 [I-ε,S+ε] 对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的 "x""n"。区间 ["I", "S"] 是适合这个性质的最小闭区间。 formula_46 其中formula_47是第formula_48个素数。集的序列. 集合"X"的幂集"P"("X")是完备格。对于"P"("X")中的序列，也就是"X"的子集的序列，其上下极限也有用处。若formula_49是这样的序列，那么"X"的元素"a"属于formula_50，当且仅当存在自然数formula_51使得对于所有formula_52，"a"在formula_49里。元素"a"属于formula_54，当且仅当对所有自然数formula_51，都存在一个指数formula_52使得"a"在formula_49里。换句话说，formula_54包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有无限多个"n"，使得它在集合formula_49里；而formula_50包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有除了有限多个外的所有"n"，使得它在formula_49里。以集合论的标准语言来说，一个集合序列的下确界是这些集合的可数交，也就是包含在所有集合里的最大集合： formula_62。令formula_63为自formula_49起的集合的下确界。那么序列formula_63非递减，因为formula_66。所以，第1至"n"个下确界的并集就是第"n"个下确界。下极限就是这序列的极限： formula_67。上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合，也就是它们的可数并： formula_68。上极限是这个非递增的上确界序列的可数交（其中每个上确界都包含在前一个里面）。 formula_69。例子或应用可见波莱尔－坎泰利引理，柯西-阿达马公式（Cauchy-Hadamard Formula）。

沙律

1928年夏季奥林匹克运动会

路遥

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