数学上，李代数是一个代数结构，主要用于研究像李群和微分流形之类的几何对象。李代数因研究无穷小变换的概念而引入。“李代数”（以索菲斯·李命名）一词是由赫尔曼·外尔在1930年代引入的。在旧文献中，无穷小群指的就是李代数。 定义. 李代数是一个在域 "F" 上的向量空间 formula_1，具有满足以下条件的二元运算 formula_2（称为李括号）： formula_3 formula_4 formula_5 formula_6 formula_7 formula_8 用双线性来展开李括号formula_9，并用交错性来证明对所有"x", "y"属于formula_1，均有formula_11，我们可以从双线性和交错性推出反交换律： formula_12 formula_13。 反过来说，当"F" 的特征不是 2时，反交换律也蕴含交错性（不过，当特征为2时，对于任何formula_14恒为零，故不能用formula_15得到formula_6）。 用李括号表达的乘法不一定符合结合律。即 formula_17 与 formula_18 不一定相等。因此李代数通常并非环或结合代数。 生成元与维度. 若某个李代数的元素formula_1生成整个代数，那就表示包含这些元素的最小子代数是formula_1本身。 李代数的维度则是其作为formula_21上的向量空间的维度。一个李代数的最小生成集合的元素个数，总是小于等于其维度。 可见一文以知其他小的例子。 例子. 1. 如果我们定义李括号等于formula_22，则每个向量空间自然成为一个平凡的交换李代数。 2. 如果选李括号为向量的叉乘，欧几里得空间formula_23是一个李代数。 3. 若一个结合代数formula_24给定乘法formula_25，它可以通过定义formula_26而成为李代数。这个表达式称为formula_27和formula_28的换位子。相反的，每个李代数可以嵌入到一个以这个方式从结合代数得到的李代数中。参看泛包络代数。 4. 另一个李代数的重要例子来自于微分几何：可微流形上的光滑向量场在把李导数作为李括号的时候成为一个无穷维李代数。李导数把向量场formula_29等同为作用在任何光滑标量场formula_30上的偏微分算子，这是通过令formula_31为formula_30在formula_29方向的方向导数达成的。这样，在表达式formula_34中，并列formula_35表示偏微分算子的复合。然后，李括号formula_36定义为 formula_37 对于流形上的每个光滑函数formula_30。 这是流形的微分同胚集合构成的无穷维李群的李代数。 5. 李群的左不变向量场组成的向量空间在李括号这个操作下是闭的，因而是一个有限维李代数。或者，可以把属于一个李群的李代数的向量空间看成是该群的幺元的切空间。乘法就是群在幺元的微分的换位子，formula_39。 6. 作为一个具体的例子，考虑李群formula_40，所有实系数行列式为formula_41的formula_42矩阵。单位矩阵的切空间可以和所有迹为formula_22的实formula_42矩阵等同起来，其来自于李群的李代数结构和来自矩阵乘法的交换子的相同。 更多李群和它们相应的李代数，请参看李群条目。 同态，子代数，和理想. 在同样基域formula_21上的李代数formula_1和formula_47之间的一个同态formula_48是一个formula_21-线性映射，使得对于所有formula_1中的formula_27和formula_28有formula_53。这样的同态的复合也是同态，而域formula_21上的李代数，和这些态射一起，组成了一个范畴。如果一个同态是双射，它称为同构，而两个李代数formula_1和formula_47称为"同构"的。对于所有的应用目的，同构的李代数是相同的。 李代数formula_1的一个子代数是formula_1的一个线性子空间formula_47使得formula_60对于所有formula_61成立。则这个子代数自身是一个李代数。 李代数formula_1的理想是formula_1的一个子空间formula_47，使得formula_65对于所有formula_66和formula_67成立。所有理想都是子代数。若formula_47是formula_1的一个理想，则商空间formula_70成为一个李代数，这是通过定义formula_71为对于所有formula_72成立。理想刚好就是同态的核，而同态基本定理对于李代数是适用的。 李代数的分类. 实和复李代数可以分类到某种程度，而这个分类是李群分类的重要一步。每个有限维实或复李代数作为一个唯一的实或复单连通李群的李代数出现（Ado定理），但是可能有一个以上的群，甚至一个以上的连通群，有这个相同的李代数。例如，群 SO(3)（行列式值为1的 3×3 正交群）和SU(2) （行列式为1的 2×2 酉矩阵）有相同的李代数，就是 R3，以叉乘为李括号。 李代数是“交换的”，如果李括号为0，也就是 ["x", "y"] = 0 对于所有 "x" 和 "y"。更一般的，一个李代数 formula_1 是零幂（nilpotent）的，如果低中心序列（lower central series） formula_74 最终为 0。按照[[Engel定理]]，李代数零幂当且仅当对每个 formula_1 中的 "u" 映射 formula_76 是零幂的。更一般的，李代数 formula_1 是[[可解]]的若[[导序列]](derived series) formula_78 最终成为0。 极大可解子代数成为[[波莱尔子代数]]。 李代数 "g" 称为[[半单李代数|半单]] 如果 formula_1 唯一的可解理想是平凡的。等价的，formula_1 是半单的当且仅当[[基灵型]] "K"("u","v") = tr(ad("u")ad("v")) 是非退化的；这里 tr 表示[[矩阵的迹|迹算子]]。当域 "F" 的特征数为 0， formula_1 半单单当且仅当每个[[李代数表示|表示]]都是完全可约的，也就是对于每个表示的不变子空间，有一个不变的补空间（[[外尔定理]] Weyl's theorem）. 李代数是[[单李代数|单]]的，如果它没有非平凡理想并且非交换。特别的有，一个单李代数是半单的，更一般的，半单李代数是单李代数的直和。 半单复李代数可通过它们的[[根系 (数学)|根系]]分类。 范畴理论定义. 使用[[范畴论]]的语言，李代数可以定义为[[向量空间范畴]]中的对象 "A" 和[[态射]] formula_82 使得 其中formula_85 而 σ 是复合 formula_86的[[循环枚举]]。用交换图形式: [[File:Liealgebra.png]] 参考. [[Category:抽象代数|L]] [[Category:微分几何|L]] [[Category:李代数|L]]