!style=" text-align: left; background: #DCF0FF; font-size: 90%;"|线性空间与线性变换 线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化 在数学里，任何向量空间"V"都有其对应的对偶向量空间（或简称为对偶空间），由"V"的线性泛函组成。此对偶空间俱有一般向量空间的结构，像是向量加法及纯量乘法。由此定义的对偶空间也可称之为代数对偶空间。在拓扑向量空间的情况下，由连续的线性泛函组成的对偶空间则称之为连续对偶空间。 对偶空间是 row vector （formula_1）与 column vector （formula_2）的关系的抽象化。这个结构能够在无限维度空间进行并为测度,分布及希尔伯特空间提供重要的观点。对偶空间的应用是泛函分析理论的特征。傅立叶变换亦内蕴对偶空间的概念。 代数对偶空间. 设formula_3为 在域formula_4上的向量空间，定义其对偶空间formula_5为由"formula_3"到"formula_4"的所有线性函数的集合。 即是"formula_3"的标量线性变换。formula_5本身是formula_4的向量空间，并且对所有formula_5中的formula_12及formula_13、所有"formula_4"中的formula_15、所有"formula_3"中的formula_17满足以下加法及标量乘法： formula_18 formula_19 在张量的语言中，"formula_3"的元素被称为反变或逆变（contravariant）向量，而formula_5的元素被称为共变或协变（covariant）向量、「余向量」或「同向量」（co-vectors），「线性型」或「1-形式」（one-form）。 例子. 如果"formula_3"是有限维的，formula_5的维度和V的维度便相等； 如果formula_24是"formula_3"的基，formula_5便应该有相对基formula_27，记作： formula_28 如果"formula_3"是平面几何向量的空间，formula_5便是一组组的平行线。我们能从平行线应用到任何向量产生一个标量。 如果"formula_3"是无限维度，formula_32不能产生formula_5的基；而formula_5的维度比"formula_3"的大。 例如空间formula_36的元素是实数列，其拥有很多非零数字。formula_37的双对空间是所有实数数列的空间。这些数列formula_38被用于元素formula_39而产生formula_40。 线性映射的转置. 设formula_41是线性映射。 formula_42的"转置"formula_43定义为 formula_44 对任何向量空间formula_45，定义formula_46为所有从formula_3到formula_48的线性映射组成的向量空间。formula_49产生从formula_50至formula_51的单射；这是个同构若且唯若formula_48是有限维的。 若 线性映射"f"表示作其对formula_45的基之矩阵formula_54 ,则formula_55表示作其对formula_56的对偶基之转置矩阵。 若formula_57是另一线性映射，则formula_58。 在范畴论的语言里，"为任何向量空间取对偶"及"为任何线性映射取转置"都是向量空间范畴的逆变函子。 双线性乘积及对偶空间. 正如所见，如果formula_3拥有有限维度，formula_3跟formula_5是同构的，但是该同构并不自然；它是依赖于我们开始所用的formula_3的基。事实上，任意同构formula_63在formula_3上定义了一个唯一的非退化的双线性型： formula_65 相反地从每个在有限维空间中的非退化的双线性积可以产生由formula_3映射到formula_5的同构。 到双对偶空间内的单射. 存在一个由formula_3到其双对偶formula_69的自然映射formula_70，定义为 formula_71 formula_70常是单射；当且仅当formula_3的维数有限时，formula_70是个同构。 连续对偶空间. 处理拓扑向量空间时，我们一般仅对该空间射到其基域的连续线性泛函感兴趣。由此导致连续对偶空间之概念，此乃其代数对偶空间之一子空间。向量空间"formula_3"之连续对偶记作"formula_3"′。此脉络下可迳称连续对偶为"对偶"。 线性赋范向量空间"formula_3"（如一巴拿赫空间或一希尔伯特空间）之连续对偶"formula_3"产生一线性赋范向量空间。对一"formula_3"上之连续线性泛函，其范数formula_80定义为 formula_81 此法变一连续对偶为一线性赋范向量空间，实为巴拿赫空间。 例子. 对任意有限维之线性赋范向量空间或拓扑向量空间，正如欧几里得空间，其连续与代数对偶不二。 令formula_82构成之巴拿赫空间"l" "p"，使其范数 formula_83 有限。以formula_84定义formula_85，formula_86其连续对偶遂自然等同于formula_87：给定一元素formula_88，formula_87中相应元素为序列 formula_90，其中formula_91谓第formula_92项为1且余项皆0之序列。反之，给定一元素formula_93，formula_86上相应之连续线性泛函formula_13定为formula_96（对一切formula_97，见Hölder不等式）。 准此，formula_98之连续对偶亦自然同构于formula_99。再者，巴拿赫空间formula_100（赋以上确界范数之全体收敛序列）及formula_101（"formula_100"中收敛至零者）之连续对偶皆自然同构于formula_98。 进一步的性质. 若"formula_3"为希尔伯特空间，则其连续对偶亦然，并反同构于"formula_3"；此即是里斯表示定理的陈述，同时也启发了量子力学之数学描述时所用的狄拉克符号。 类似双重代数对偶，对连续线性算子亦有连续单射formula_106，此映射实为等距同构，即 formula_107对一切"formula_3"中formula_17皆真。使formula_70为双射之空间称自反空间。 连续对偶赋"formula_3"以一新拓扑，称之为弱拓扑。 若"V"之对偶可分，则"formula_3"亦可分。反之则不然：考虑空间formula_113，则其对偶formula_114不可分。