欧拉方法

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在数学和计算机科学中，欧拉方法（），是一种一阶数值方法，用以对给定初值的常微分方程求解。欧拉方法是中最基本的显式方法；也是一个一阶方法，意味着其局部截断误差正比于步长的平方，并且其全局截断误差正比于步长。非正式的几何描述. 考虑计算这样的一个未知曲线的形状：它具有给定的起点并且满足一个给定的微分方程。这里，所谓“微分方程”可以看作能够通过曲线上任意点的位置而计算出这一点的切线斜率的公式。思路是，一开始只知道曲线的起点（假设为formula_1），曲线其他部份是未知的，不过通过微分方程，formula_1的斜率可以被计算出来，也就得到了切线。顺着切线向前走一小步到点formula_3。如果假设formula_3是曲线上的一点（实际上通常不是），那么同样的道理就可以确定下一条切线，依此类推。在经过几步之后，一条formula_5就被计算出来了。一般情况下，这条折线与原先的未知曲线偏离不远，并且任意小的误差都可以通过减少步长来得到。欧拉方法的推导. 以以下微分方程为例 formula_6 希望用 "y" 在点 (t0,y(t0)) 附近的线性近似来得到其近似解（也就是 "y" 的泰勒展开式的前二项）。利用时间 "t"n 时的数值，若用单步的欧拉方法，可得到时间 "t"n+1 = "t"n + "h" 时的近似值如下： formula_7 欧拉方法是一种显型方法，也就是说 formula_8 的解是 formula_9, formula_10 的显函数。欧拉方法可以求解一阶的微分方程，而任何formula_11阶的微分方程都可以表示成一阶的微分方程。对于微分方程 formula_12 可以通过新设辅助变量 formula_13，得到以下的等价方程 formula_14 这是一个以formula_15为变量的一阶系统，因此可以用欧拉法求解，也可以使用其他的一阶数值方法。应用例题. 设微分方程为 formula_16 ，初始值为 formula_17，试用欧拉方法求 formula_18的近似值，步长为 formula_19。欧拉法为： formula_20 首先求formula_21（当formula_22），formula_23的定义为formula_24，因此有 formula_25 透过以上步骤，求得解曲线在点formula_26的切线斜率。回顾直线斜率的定义：formula_27变化量和formula_28变化量的比值，亦记作formula_29。接著是 formula_30 formula_31 重复以上步骤求出formula_32 和 formula_33的值。 formula_34 formula_35 由于欧拉法属于递归算法，把运算整理成表格也许有助于避免计算错误。局部截尾误差. 欧拉法的局部截尾误差（Local truncation error, LTE）是指在实施一次欧拉法所产生的误差，是指经过一步的数值解formula_36与在formula_37时精确解的误差。数值解formula_36由以下给出： formula_39 对于精确解，使用泰勒级数展开给出： formula_40 欧拉法的局部截尾误差为： formula_41 当formula_27拥有三阶有界导数时，这个结果是成立的。结果显示：当步长formula_43很小时，局部截尾误差近似与 formula_44 成比例。也就是说，欧拉法没有其他的高阶方法如龙格－库塔法和精确，这些方法的局部截尾误差与formula_45（"p">2）成比例。全局截尾误差. 全局截尾误差（Global truncation error, GTE）是指在一个固定时间formula_28时的误差，但是很多步之后该方法需要以从初始时间到达该时间来计算。全局截尾误差可以看做是一个每一步的局部截尾误差的累积效应。经过的步骤数为formula_47，而每步的误差则正比于formula_44。因此，可以预期全局截尾误差是正比于formula_43的。这个直观的推测可以被严谨地证明。如果解formula_27存在二阶有界导数，并且formula_23关于formula_27是利普希茨连续的，那么全局截尾误差是有界的： formula_53 其中 formula_54 是在给定区间内formula_27的二阶导数的上界，formula_56 是formula_23的利普希茨常数。这种精确的形式其实是没有什么意义的，通常情况下这个上界都会严重高估了欧拉法所造成的实际误差。重要的是，这显示了全局截尾误差是近似正比于formula_43的，所以欧拉法被称为是一阶的。

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