最速降线问题
最速降线问题，又称最短时间问题、最速落径问题。问题如下：假想你正在侧视的场景有高低不同的两点，且高点不是在低点的正上方，若从高点放开一个静止的质点让它沿著任一路径（直线、曲线、或折线皆可）滑到低点，其间只有均匀的重力作用而没有摩擦力，则怎样的路径可让这段行程的时间最短？在部分欧洲语言中，这个问题称为Brachistochrone，即希腊语中的「最短」（brachistos）和「时间」（chronos）。本问题的解答是摆线（而非很多人会猜想的直线），可以用变分法证明。
历史.
1638年，伽利略在《论两种新科学》中以为此线是圆弧。约翰·伯努利参考之前分析过的等时降落轨迹，证明了此线是摆线，并在1696年6月的《博学通报》发表。艾萨克·牛顿、雅各布·伯努利、莱布尼兹和洛必达都得出同一结论，即正确的答案应该是摆线的一段。除了洛必达的解外，其他人的解都在1697年5月的《博学通报》出现。
证明.
约翰·伯努利的证明.
费马原理说明，两点间光线传播的路径是所需时间最少的路径。约翰·伯努利利用该原理,对此问题进行解决。
运用机械能守恒定律，可以导出在恒定重力场中运动的物体的速度满足
formula_1,
式中y表示物体在竖直方向上落下的距离，g为重力加速度。通过机械能守恒可知，经不同的曲线落下，物体的速度与水平方向的位移无关。
通过假设光在光速v在满足:formula_1的传输介质中运动形成的轨迹来导出最速降线。
约翰·伯努利注意到，根据折射定律，一束光在密度不均的介质中传播时存在一常数
formula_3,
式中vm为常数(可认为为真空中光速c，θ为轨迹与竖直方向的夹角，dx为水平方向路径微分，ds为运动方向路径微分。
通过上述方程，我们可以得到两条结论：
为了简化过程，我们假设质点（或光束）相对于原点(0,0)有坐标(x,y)，且当下落了竖直距离"D"后达到了最大速度，则
formula_4.
整理折射定律式中的各项并平方得到
formula_5
可以解得"dx"对"dy"有
formula_6.
代入v和vm的表达式得到
formula_7
这是一个由直径为"D"的圆所形成的倒过来的摆线的微分方程。
雅各布·伯努利的证明.
约翰的哥哥雅各布·伯努利说明了如何从二阶微分得到最短时间的情况。一种现代版本的证明如下。
如果我们从最短时间路径发生微小移动，那么形成三角形满足
formula_8.
"dy"不变求微分，得到
formula_9
最后整理得到
formula_10
最后的部分即二阶微分下距离的改变量与给定的时间的关系。现在考虑下图中的两条相邻路径，中间的水平间隔为"d2x"。对新旧两条路径，改变量为
formula_11
formula_12
对于最短时间的路径，两个时间相等，故得到
formula_13
因此最短时间的情况为
formula_14
最速降线的数学形式与最短时间.
在垂直平面上，自原点formula_15至目的地formula_16的最速降线具有以下数学形式：
formula_17
这里的formula_18座标轴方向向下，且formula_19；formula_20为此摆线参数表达式的参数，原点处formula_21。
物体自原点沿最速降线滑至formula_22处所需的时间可由以下积分式给出：
formula_23。
利用formula_24以及formula_1，并以formula_20作为参数，整理后得
formula_27
formula_28。
自此摆线的参数式中易知formula_18的最大值为formula_30，此值必须等于摆线的绕转圆直径formula_31，因此
formula_32
formula_33。
现假设终点与原点直线距离formula_34，且终点对原点的仰角为formula_35。利用此摆线的参数式，可知
formula_36
formula_37
利用formula_38的关系式求出formula_39，并代回下滑时间中，得
formula_40
综合上述，讨论在formula_34已知的情况下，下滑时间formula_42与俯角formula_35的关系为
formula_44。
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