实数
实数
在数学中，实数（）是有理数和无理数的总称，前者如formula_1、formula_2、formula_3；后者如formula_4、formula_5等。实数可以直观地看作小数（有限或无限的），它们能把数轴「填满」。但仅仅以枚举的方式不能描述实数的全体。实数和虚数共同构成复数。
根据日常经验，有理数集在数轴上似乎是「稠密」的，于是古人一直认为用有理数即能满足测量上的实际需要。以边长为formula_6公分的正方形为例，其对角线有多长？在规定的精度下（比如误差小于formula_7公分），总可以用有理数来表示足够精确的测量结果（比如formula_8公分）。但是，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家发现，只使用有理数无法完全精确地表示这条对角线的长度，这彻底地打击了他们的数学理念；他们原以为：
正因如此，毕达哥拉斯本人甚至有「万物皆数」的信念，这里的数是指自然数（formula_9），而由自然数的比就得到所有正有理数，而有理数集存在「缝隙」这一事实，对当时很多数学家来说可谓极大的打击；见第一次数学危机。
从古希腊一直到17世纪，数学家们才慢慢接受无理数的存在，并把它和有理数平等地看作数；后来有虚数概念的引入，为加以区别而称作“实数”，意即“实在的数”。在当时，尽管虚数已经出现并广为使用，实数的严格定义却仍然是个难题，以至函数、极限和收敛性的概念都被定义清楚之后，才由十九世纪末的戴德金、康托尔等人对实数进行了严格处理。
所有实数的集合则可称为实数系（real number system）或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用formula_10表示。由于formula_10是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。
初等数学.
在目前的初等数学中，没有对实数进行严格的定义，而一般把实数看作小数（有限或无限的）。实数的完备性可以利用几何加以说明，即数轴上的点与实数一一对应；见数轴。
实数可以分为有理数（如formula_12、formula_13）和无理数（如formula_5、formula_4），或者代数数和超越数（有理数都是代数数）两类。实数集合通常用字母formula_16或formula_10表示。而formula_18表示formula_19维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。
实数可以用来测量连续变化的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后formula_19位，formula_19为正整数）。在计算机领-{域}-，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
正数与负数.
实数是一个集合，通常可以分为正数、负数和零（formula_1）三类。「正数」（符号：formula_23）即大于formula_1的实数，而「负数」（符号：formula_25）即小于formula_1的实数。与实数一样，两者都是不可数的无限集合。正数的相反数一定是负数，负数的相反数也一定是正数。除正数和负数外，通常将formula_1与正数统称为「非负数」（符号：formula_28），而将formula_1与负数统称为「非正数」（符号：formula_30）。这和整数可以分为正整数、负整数和零（formula_1），而formula_1与正整数通常统称为非负整数、formula_1与负整数则通常统称为非正整数非常相似。另外，只有实数可以分为正和负等，虚数是没有正负之分的。
历史.
在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们认识到有理数在几何上不能满足需要，但毕达哥拉斯本身并不承认无理数的存在。
直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。
定义.
从有理数构造实数.
实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如formula_34所定义的序列的方式而构造为有理数的完备化。实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。
公理化方法.
设 formula_10 是所有实数的集合，则：
最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于formula_53的有理数的集合存在有理数上界，如formula_54；但是不存在有理数上确界（因为formula_4不是有理数）。
实数通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个戴德金完备的有序域 formula_56和 formula_57，存在从 formula_56到 formula_57的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同。
性质.
基本运算.
在实数域内，可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数；只有非负实数才能开偶次方，其结果还是实数。
连续性或完备性.
作为度量空间或一致空间，实数集合是一个完备空间，它有以下性质：
所有实数的柯西序列都有一个实数极限。
有理数集合就不是完备空间。例如，formula_66是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限formula_4。实数是有理数的完备化：这亦是构造实数集合的一种方法。
完备的有序域（有序性）.
实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。
拓扑性质.
实数集构成一个度量空间：formula_83和formula_84间的距离定为绝对值 formula_85。作为一个全序集，它也具有序拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是一维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。以下是实数的拓扑性质总览：
formula_100.
扩展与一般化.
实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化：
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