在数学上，要定义“比例”，必须先定义“比”。比（ratio）是两个非零数量 formula_1 与 formula_2 之间的比较关系，记为 formula_3，在计算时则常写作：formula_4 或 formula_5。 比例（proportion）或比例式，是“两个比”相等的式子；表示同类型（相同单位）的“两个比之间”的关系。因此，比值相等的两个比才能组成比例，且比例必须以等式的形式呈现。例如：formula_6 或 formula_7 才能称作比例，而 formula_4 或 formula_9 只能称作比。 组成比例的四个数，称为比例的项；等式最两端的两项称为外项，等式中央的两项称为内项。与比不同的是：比由两个数组成；比例由四个数组成。 若两个变量的关系符合：其中一个量等于另一个量乘以一个常数 formula_10（formula_11，formula_10 称为 比例常数 或 比例系数），或等价地表达为：两变数的比值为一个定值（此定值或商，称为 比（ratio），但比的定义不限于定值），则称两者是“成比例的”，或称两者“成正比”。 若几对变量共享相同的直接比例常数，则表示这些比值相等的方程称为比例式（proportion）或等比关系。例如：= = ⋯ = "k" 。比例性（proportionality）则与线性关系（linearity）密切相关。 定义. 若存在一常数 formula_10，使：formula_14，（formula_1 是因变量，formula_2 是自变量，formula_10 是常数，且 formula_10formula_19formula_20）， 则称变量 formula_1 与变量 formula_2 成比例（有时也称为“成正比”）。当 formula_2 和 formula_1 成正比关系时，当formula_2 变为原来 formula_10 倍时，formula_1 也会变为原来的 formula_10 倍；此时 formula_29 两个变量成线性函数关系或正比例函数关系。这种函数是一次函数 formula_30 取 formula_31 的特殊情况；该关系通常用数学符号 formula_32（正比号）表示为：formula_33，并称该常数 formula_10 （formula_35） 为 比例常数 或 比例系数 或 比例关系中的常数。 在日常生活中，正比这个词的使用并不严格局限于线性函数，一般来说，一个变量随着另一个变量的增大而增大（或因一个变量的减小而减小），近似地满足线性关系时，我们就可以说这两个变量成正比。 符号和术语. 数formula_36和formula_37的“比”可以表示为： 当“两组比”相等时，表达formula_42与formula_47相等的形式为formula_48或formula_49；口头或书面的表达形式也可以为「formula_36比formula_37等于formula_52比formula_53」。而formula_54有特定的名称：formula_55称为比例的外项，formula_56称为比例的内项。 等比关系. 两个比例之间也可以互相比较，若两个比例相等（即其比值相同），则称这个相等关系为等比关系。 例如，formula_57是等比关系，则：formula_58。 需要注意的是：如果第二项等于第三项，例如：formula_59formula_60，则：formula_61，或formula_62，formula_2称为formula_1与formula_65的几何平均数（-- 通约性. 如果formula_1与formula_2是可通约的（或称“可通分的”），那么它们之间存在一个公约数（-- ），用formula_68表示。使：formula_69。 此时，formula_9就相等于formula_71的比，即：formula_72， 那么，formula_9就称为可通约比（-- ）（或称“可通分比”），formula_74称为分数，其比值称为有理数；反之，若不存在公约数，formula_9就称为不可通约比（-- ）（或称“不可通分比”），其比值称为无理数，即“无法表示为分数的数。” 用法与历史. 现代数学对于比例的用法并没有严格限制，例如，在一个班级里面，我们可以说：「男孩与女孩的比例是2比1」。然而，在古希腊数学中，由于比例是用来表示倍数关系，所以必须是相同种类的数量才能构成比例，例如，欧几里得在《几何原本》第五册中如此定义比例： 阿基米德使用这个定义来叙述均匀运动（-- ）的等比关系 在一个均匀运动中，两段距离的比例相等于它们所需时间的比例。 阿基米德所要描述的，就是匀速运动，但是古希腊数学并不接受距离与时间的比例 （亦即速率），因为它们是不一样的数量，所以他没有办法直接说：「均匀运动就是每一点上的速率皆相等」。当采用古希腊的比例论来叙述时，必须取两段距离formula_76与formula_77以及所需时间formula_78与formula_79，均匀运动（匀速运动）就是formula_80。 性质. 因为： formula_14 ，等同于 formula_82；因此可推出，若 formula_1 与 formula_2 之间存在正比关系，则 formula_2 与 formula_1 之间也存在正比关系。formula_1 与 formula_2 的正比关系也可以被解读为一条在二维直角坐标系穿过原点的直线，其斜率为比例常数formula_10。 比例关系中，位于两端的两数（外项）之积等于位于中间的两数（内项）之积。即：formula_90 反比关系. 在上面定义中，我们说有时称两个成比例的变量成正比例，这是为了和反比例关系相对应： 如果两变量中，一个变量和另外一个变量的倒数成正比；或同样的：若这两变量的乘积是一个常数，则称这两个变量成反比例（或相反地变化)的，从而可继续推出：若存在一非零常数formula_10，使：formula_92formula_93，则变量formula_1和变量formula_2成反比。 反比例关系的概念基本上说明的是这样一种关系，即：当一个变量的值变大时，另一变量的值相应变小，且两者之积总是保持为一常数（即比例常数）。举例来说：运动中的车辆走完一段路程所花费的时间是和这辆车运动的速度成反比的；在地上挖个坑所花的时间也（大致地）和雇来挖坑的人数成反比的。 在笛卡尔坐标平面上，两个具有反比例关系的变量的图形是一对双曲线，该图线上的每一点的 X 和 Y 坐标值之积总是等于比例常数formula_10。由于formula_10非零，所以图线不会与坐标轴相交。 指数比例和对数比例. 若变量formula_1与变量formula_2的指数函数成正比，即：若存在非零常数formula_10，使：formula_101，则称formula_1与formula_2成指数比例。 类似地，若变量formula_1与变量formula_2的对数函数成正比，即：若存在非零常数formula_10，使：formula_107，则称formula_1与formula_2成对数比例。 确定比例关系的实验方法. 用实验方法确定两个物理量是否具有正比关系，可采用这样的办法： 即进行多次测量，并在笛卡尔坐标系中将这些测量结果用多个点来表示，以此绘制出这些点的分布图形； 如果所有点完全（或接近）地落在一条穿过原点formula_110的直线上，则这两个变量（很有可能）具有比例常数等于该直线斜率的正比关系。 扩展阅读.