内积空间
内积空间
!style=" text-align: left; background: #DCF0FF; font-size: 90%;"|线性空间与线性变换
线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化
内积空间（）是增添了某种运算的向量空间，这种运算叫做内积，它推广了原来欧几里德空间的点积，而从比较一般的角度看待向量的“夹角”、“长度”还有正交性。
相关术语.
内积空间有时也叫做准希尔伯特空间（--
），因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。
在早期的著作中，本条目所定义的内积空间被称作-{zh-cn:酉;zh-tw:么正;}-空间，但这些著作里的“内积空间”反而指的是有限维欧几里德空间或可数维的Lp空间。
正式定义.
下文中 formula_1 有可能是实数系 formula_2 或复数系 formula_3 。
formula_4 是一个定义在域 formula_5 上的向量空间，其向量加法记为「 formula_6 」 ，且其标量乘法记为「 formula_7 」。若它装配了一个二元函数 formula_8 满足：（以下将 formula_9 简写为 formula_10 ）
这样的话， formula_11 会被称为定义在 formula_4 上的内积。更进一步的，若 formula_13 则称 formula_4 是个复内积空间，反之，若 formula_15 则称 formula_4 是个实内积空间。
如果 formula_17 ，也可记为 formula_18 ，并称「 formula_19 与 formula_20 是正交的（perpendicular）」。
定义的分歧.
为了与量子力学中的狄拉克符号的顺序相符，以上线性部分的定义常常被物理学家颠倒过来，也就是
真正会造成影响的是第二条，因为可根据顺序颠倒的第二条，从顺序颠倒的第一条会推出原来的第一条，反之亦然（可参考基本性质一节第一个定理）。但这仍会造成许多定理的内积顺序也要颠倒过来才会成立。
例子.
实数的乘法.
因为实数系 formula_2 可以视是为定义在自己之上的向量空间，所以可以验证：formula_22 满足内积的各种性质。
点积.
欧几里德空间 formula_23的点积：
formula_24
是定义在 formula_23上的一个内积。
基本性质.
定理 — 若 formula_4 是复内积空间，那对所有的 formula_27 和所有的有 formula_28 有：
(a) formula_29
(b) formula_30
证明
formula_31
formula_32
故得证。formula_33
一般线性 —
若 formula_4 是个复内积空间，对任意有限向量序列 formula_35 和任意 formula_36 有：
(a) formula_37
(b) formula_38
证明
若 formula_39 ，本定理只是内积定义的线性部分，故成立。
若 formula_40 时，对任意有限向量序列 formula_41 和任意 formula_36 有：
formula_43
这样的话，对任意有限向量序列 formula_44 和任意 formula_36 有：
formula_46
所以根据数学归纳法，本定理(a)部分得证。这样根据共轭的线性性质有：
formula_47
故本定理的(b)部分也得证。formula_33
范数.
以下根据内积定义的非负性部分，定义 formula_49 为 formula_50 ，并把 formula_51 表记为 formula_52 。
柯西-施瓦茨不等式 —
formula_4 是个复内积空间，则对所有的 formula_54 有：
(a) formula_55 ，根据内积定义的非退化部分，本定理成立。若考虑 formula_56 ，取 e_v = \frac{1}{\
证明
根据内积定义和上面的一般线性性质有
\begin{align}
\left\
平行四边形法则 —
formula_4 是个复内积空间，则对所有的 formula_54 有：
(a) \
证明
根据内积定义和向量空间的基本运算性质有
完备化.
如果 formula_4 是个复内积空间，可以定义一个函数 formula_60 且 formula_61，根据上面的三角不等式和内积定义，formula_62 的确是个度量空间。
在希尔伯特空间的文章中有一些内积空间的例子，其中引出自内积的度量诱导一个完备的度量空间。然而也存在诱导不完备度量空间的内积，比如在区间formula_63上连续复数值函数的空间formula_64上。内积是
formula_65
这个空间是不完备的；比如考虑对于区间formula_66，考虑函数序列formula_67，其中
formula_68
每个formula_69都是连续函数，但formula_67在上面的内积诱导的拓扑中是不收敛于任何一个连续函数的柯西序列，因为它的极限不是连续的函数。
在内积空间上的算子.
希尔伯特算子，协方差算子
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