选择公理（，缩写AC）是数学中的一条集合论公理。这条公理声明，对所有非空指标集族formula_1，总存在一个索引族formula_2，对每一个formula_3，均有formula_4。选择公理最早于1904年，由恩斯特·策梅洛为证明良序定理而公式化完成。 非正式地说，选择公理声明：给定一些盒子（可以是无限个），每个盒子中都含有至少一个小球，那么可以作出这样一种选择，使得可从每个盒子中恰好选出一个小球。在很多情况下这样的选择可不借助选择公理；尤其是在“盒子个数有限”和“存在具体的选择规则”（当每个盒子都恰好只有一个小球具有某项特征）这两种情况下。关于“存在具体的选择规则”可以透过以下例子理解：假设有许多（甚至是无限）双鞋子，则我们可以选取每双鞋左边的鞋子构成一个具体的选择，由于在鞋子之中“存在具体的选择规则”(左边的鞋子不同于右边的鞋子)，故不需要选择公理，仍可做出有效的选择。然而，假设有无限双袜子，且每双袜子都没有可区分的特征，在这种情况下，有效的选择只能通过选择公理得到。 尽管曾具有争议性，选择公理现在已被大多数数学家毫无保留地使用着，例如带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）。数学家们使用选择公理的原因是，有许多被普遍接受的数学定理，比如是吉洪诺夫定理，都需要选择公理来证明。现代的集合论学家也研究与选择公理相矛盾的公理，例如决定公理。 在一些构造性数学的理论中会避免选择公理的使用，不过也有的将选择公理包括在内。 陈述. 首先定义几个概念： 集族：指由非空集合组成的集合。 选择函数：它是一个集族上的函数。它规定：对于所有在集族formula_5中的集合formula_6，formula_7是"formula_6"的一个元素。 那么，选择公理表示： 对于所有的集族，均存在选择函数。 上述可表示为： formula_9 或者： 设formula_5是一个集族，则存在着在formula_5上定义的一个选择函数formula_12。 该定理也可表达为： 集族上的任意笛卡尔积总是非空的。 变体. 第二个版本的选择公理声称： 给定由相互不交的非空集合组成的任何集合，存在着至少一个集合，它与每个非空集合恰好有一个公共元素。 第三个版本声称： 对于任何集合formula_13，"formula_13"的幂集（减去空集）有一个选择函数。 使用这个版本的作者通常谈及“在"formula_13"上的选择函数”，但要注意这里选择函数的概念是稍微不同的。它的定义域是"formula_13"的幂集（减去空集），因此对任何集合"formula_13"有意义；至于本文中其他地方用的定义，在“集合的搜集”上的选择函数的定义域是这个搜集，所以只对集合的集合有意义。透过这个变体的定义，选择公理也可以简洁的陈述为 所有集合有一个选择函数。 它等价于 对于任何集合"formula_13"有一个函数使得对于"formula_13"的任何非空子集formula_20，formula_21。 而选择公理的否定表达为： 有一个集合"formula_13"使得对于所有函数"formula_12"（在"formula_13"的非空子集的集合上），有一个"formula_20"使得formula_26。 术语（AC，ZF，ZFC）. 以下列出了这篇条目中各种与“选择公理”相关的缩写： 使用. 直到19世纪晚期，选择公理的使用一直都没有得到明确声明。例如，建立了只包含非空集合的集合formula_5之后，当时的数学家可能会直接说"设对于"formula_5"中所有formula_6有formula_30是"formula_6"的成员之一"。一般来说，要是不用选择公理，是不可能证明formula_32的存在性的。这一点直到策梅洛之前似乎没有引起人们的注意。 不是所有的情况都需要选择公理。选择公理对于那些没有可定义的选择才有必要。值得指出的是，对于有限集合"formula_5"，选择公理的有限版本可以通过其他集合论公理推导得出。在这种情况下，它等价于说我们有多个（有限数目的）盒子，每个包含至少一个物体，则我们可以从每个盒子恰好选择一个物体。显然我们可以这么做：从第一个盒子开始，选择其中的一个物体；到下一个盒子，选择一个物体；如此类推。因为盒子数量有限，所以我们的选择过程最后一定会结束。这里给出的选择函数是明确的：第一个盒子对应于第一个选择的物体，第二个盒子对应于第二个选择物体；如此类推——此法之所以可行，是因为序对公理的原因。可以通过数学归纳法做出对所有有限集合的形式证明。 例子. 对于特定的无限集合"formula_5"，也可以避免使用选择公理。例如，假设"formula_5"的元素是自然数的集合。每个自然数的非空集合都有一个最小元，所以要指定我们的选择函数，我们可以简单的把每个集合映射到这个集合的最小元。这使得我们可以从每个集合明确地选择元素，以及写出一个明确的表达式，说明我们的选择函数如何取值。在能够指定一个明确选择方式的时候，选择公理都是没有必要的。 当缺乏从每个集合得到元素的直观选择方式时，困难就出现了。如果我们不能做明确的选择，我们如何知道我们的这个集合存在？例如，假设"X"是实数的所有非空子集的集合。首先我们也许想套用有限的情况去处理"formula_5"。如果我们尝试从每个集合选择一个元素，那么，因为实数集合是无限不可数，我们的选择过程永远不会结束。亦因如此，我们永远不能生成对"formula_5"的成员的选择函数。所以这种方法不能奏效。其次我们可以尝试给每个集合指定最小元素这种方式。但是某些实数的子集没有最小元素。例如，开区间formula_38没有最小元素：如果formula_39在formula_38中，则formula_41也在其中，而formula_41总是严格的小于formula_39。所以这种方法也不行。 我们之所以能够从自然数的非空子集选择最小元素，是因为自然数上有一个自然良序：所有自然数的非空子集都有一个唯一的最小元素。 因此，我们可以采取这样的思路，「即使实数的正常排序并非良序，也有可能找到一个排序使得实数是良序的。在这个排序下，总能够选择实数非空子集的最小元素。这样便得到了选择函数」。问题就变成如何构造这样的排序。而事实上，“存在一个排序使得所有集合可以是良序的”这一命题成立，当且仅当选择公理为真。 有必要用到选择公理的证明总是非构造性的：即使证明给出了一个对象，精确地说出那个对象却是不可能的。如果我们不能写出选择函数的定义，则我们的选择就不是非常明确的。这是一些数学家不喜欢选择公理的理由之一。例如，构造主义者论断说所有涉及存在性的证明都应当是完全明确的；构造任何存在的对象应当是可能的。他们拒绝选择公理#重定向 重定向;重新导向;，因为它断言了不能具体描述是什么的对象的存在。 构造性数学. 像上面讨论的那样，在ZFC中，选择公理能为一个不能明确构造出的对象给出“非构造性证明”来证明其存在性。然而，ZFC依然是在经典逻辑下被形式化的。在构造性数学领域，选择公理仍被深入研究，而当中应用的是非古典逻辑。在构造性数学的不同版本中，选择公理的状况也有所差别。 在直觉类型论和高阶的Heyting算术中，选择公理的适当陈述（按照推导方式）可以是作为一个公理，又或者作为一个可证明的定理。认为选择公理可被视作是构造性的： 但在中，迪亚科内斯库定理表明选择公理蕴涵了排中律（在直觉类型论中，选择公理不蕴涵排中律）。因此选择公理在构造性集合论中并非普遍被接受。在类型论中的选择公理与在构造性集合论中的选择公理的区别是，前者不具有外延性而后者具有。 一些构造性集合论的结果用到了可数选择公理或依赖选择公理，这两个公理在构造性集合论内并不蕴涵排中律。尽管可数选择公理在构造性数学中的应用特别广泛，它的使用也受到质疑。 强形式公理. 可构造性公理与连续统假设都蕴涵了选择公理，更准确地说，两者都严格强于选择公理。在类理论中，如冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论和Morse–Kelley集合论，存在一个叫全局选择公理的公理，它比选择公理要强，因其同时也适用于真类。全局选择公理可由大小限制公理推出。 结论. 哥德尔证明了选择公理与ZF的相对协调性。保罗·寇恩用力迫法证明了选择公理独立于ZF。 Translated in: Jean van Heijenoort, 2002. "From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931". New edition. Harvard Univ. Press. ISBN 978-0-674-32449-7. * 1904. "Proof that every set can be well-ordered," 139-41. * 1908. "Investigations in the foundations of set theory I," 199-215.