芝诺悖论
芝诺悖论
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芝诺悖论（）又称芝诺佯谬，是古希腊哲学家埃利亚的芝诺提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论是芝诺反对存在运动的论证其中最著名的两个是：“阿基里斯追乌龟”和“飞矢不动”。
两分法悖论.
这里的“运动”不是距离的概念，而是速度的概念。从A点到B点的运动不仅仅涉及到距离，并且涉及到时间。
阿基里斯悖论.
常见的叙述为芝诺提出的追著乌龟的阿基里斯，本悖论因此得其名。芝诺提出让乌龟和阿基里斯赛跑，两者起点不同，乌龟的起点位于阿基里斯身前1000米处，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌龟仍然领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然领先他1米。芝诺认为，阿基里斯永远无法追上乌龟。
如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑“数学派”所代表的毕达哥拉斯的“1>0.999...，1-0.999...>0”思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的“1=0.999...，但1-0.999...>0”思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的“1-0.999...=0，或1-0.999...>0”思想。
悖论的解决.
如果将阿基里斯步行的速度为每秒10m，乌龟爬行的速度为每秒0.1m，
并且在比赛之前，阿基里斯让乌龟先爬999m，在这种条件下，阿基里斯追赶乌龟所用的时间为：
999 ÷ 10 = 99.9秒
(99.9 × 0.1) ÷ 10 = 0.999秒
(0.999 × 0.1) ÷ 10 = 0.00999秒
这些数字，按其先后排列，可以构成一个无限序列：
99.9, 0.999, 0.00999, · · ·
求其和：S = 99.9/(1 −1/100) = 100.909090...秒
因此阿基里斯只要跑101秒，即可超越乌龟。
换个角度说，阿基里斯之所以追不上乌龟，原因在于小前提「由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。」已经限制了阿基里斯追赶的时间(距离)。
因此会得到无限的时间序列。
求极限值.
追乌龟亦涉及到极限是否存在的问题。譬如说，阿基里斯的速度改为10m/s，乌龟的速度是1m/s，乌龟原先在阿基里斯前面9m。进行上述步骤后，总共所花的时间应表示为formula_1。
其一，关于极限这个无限过程的意义，涉及到与潜无限（potential infinity）的讨论。潜无限的性质是无限过程无法完成，故上述级数虽然能无限逼近1，但不能说是等于1──故没有一个时间点（若有，必须是1）能代表乌龟被追上的时间。在潜无限的框架下，可以假设空间无法无限分割，如此一来此悖论就不存在了。但实无限的理论是，无限过程可以完成，即逼近的过程与其极限等价，故阿基里斯可以追上乌龟。现在的实数，极限，微积分都建立在实无限上。对潜无限来说，实数，极限等都不成立，只能无限逼近。
其二，关于要如何找到该无限过程的极限，欧拉曾提出「formula_2」之证明如下：
令formula_3
则formula_4
两式相减可得：
formula_5
故formula_6
飞矢不动悖论.
但由于箭要达到每一时刻的固定位置必须存在动能，所以箭必须是运动状态。
这个悖论的问题在于，「飞行」的运动，是依赖于两个时间点的。即从这一刻到那一刻的时间内，这支箭是否移动。
游行队伍悖论.
首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席Ａ，列队Ｂ、Ｃ将分别各向右和左移动一个距离单位。
ＡＡＡＡ 观众席Ａ
ＢＢＢＢ 队列Ｂ・・・向右移动（→）
ＣＣＣＣ 队列Ｃ・・・向左移动（←）
Ｂ、Ｃ两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席Ａ，Ｂ和Ｃ分别向右和左各移动了一个距离单位。
ＡＡＡＡ
ＢＢＢＢ
ＣＣＣＣ
而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。
（四个悖论的叙述引自莫里斯·克莱因《古今数学思想》中译本，Bill Smith对第四个悖论的原文作了修改以说得更清楚些。）
芝诺现象.
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